자연계열 2번

점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 함수 $\displaystyle f(x),g(x)$의 그래프 위의 점이므로 다음을 만족시킨다.$\displaystyle b^\alpha=\beta$, ($\displaystyle \alpha=\log_b\beta$),　$\displaystyle -\log_b\alpha=\beta$　------------------- (Ⅱ)

점 $\displaystyle \mathrm{P}(\alpha,\beta)$가 $\displaystyle \alpha\beta^2=1$을 만족시키므로, 양변에 로그를 취하면$\displaystyle \log_b\alpha+2\log_b\beta=0$위의 식에 (Ⅱ)의 결과를 대입하면 다음 관계식을 얻는다.$\displaystyle \log_b\alpha+2\log_b\beta=2\alpha-\beta=0$

즉, $\displaystyle \beta=2\alpha$이다. 이때, 함수 $\displaystyle f(x)$의 도함수와 $\displaystyle x=\alpha$에서의 미분계수는 각각$\displaystyle f^{\prime}(x)=b^x\ln b$,　$\displaystyle f^{\prime}(\alpha)=b^\alpha\ln b=\beta\ln b$이고, $\displaystyle f(x)$의 역함수는 $\displaystyle \log_bx$이므로, $\displaystyle g(x)$의 도함수와 $\displaystyle x=\alpha$에서의 미분계수는 각각$\displaystyle g^{\prime}(x)=(-\log_bx)^{\prime}=-\frac1{\ln b}\frac1x$, $\displaystyle g^{\prime}(\alpha)=-\frac1{\alpha\ln b}$이다. 따라서 두 접선의 기울기의 곱은$\displaystyle \beta\ln b\times\left(-\frac1{\alpha\ln b}\right)=-\frac\beta\alpha=-\frac{2\alpha}\alpha=-2$