자연계열 4번

$\displaystyle f(x)=ax+b$라 할 때, $\displaystyle f(1)=a+b>0$이다. 따라서 $\displaystyle f(-1)=-a+b$의 부호에 따라 경우를 나누어 적분을 계산한다. 먼저 $\displaystyle f(-1)=-a+b\ge0$인 경우, 즉, $\displaystyle a\le b$인 경우, 구간 $\displaystyle [-1,1]$에서 $\displaystyle f(x)\ge0$이다. 이때$\displaystyle 10=\int_{-1}^1|ax+b|\,dx=\int_{-1}^1(ax+b)\,dx=2b$따라서 $\displaystyle b=5$이다. 조건 $\displaystyle a\le b$인 양의 정수의 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$를 모두 구하면 $\displaystyle (1,5)$, $\displaystyle (2,5)$, $\displaystyle (3,5)$, $\displaystyle (4,5)$, $\displaystyle (5,5)$의 다섯 가지를 얻는다.

한편 $\displaystyle f(-1)=-a+b<0$인 경우, 즉, $\displaystyle a>b$인 경우 $\displaystyle f(x)=ax+b$의 $\displaystyle x$절편 $\displaystyle -\frac ba\ (\in(-1,0))$에서 $\displaystyle f(x)$의 부호가 바뀐다. 그러므로$\displaystyle \begin{aligned}10&=\int_{-1}^1|ax+b|\,dx=\int_{-1}^{-\frac ba}(-ax-b)\,dx+\int_{-\frac ba}^1(ax+b)\,dx\\&=\Biggl[-\frac a2x^2-bx\Biggr]_{-1}^{-\frac ba}+\Biggl[\frac a2x^2+bx\Biggr]_{-\frac ba}^1=\frac{b^2}a+a\end{aligned}$$\displaystyle \Rightarrow\quad b^2=10a-a^2=a(10-a)$따라서 $\displaystyle a\le9$이고, $\displaystyle a(10-a)$는 어떤 양의 정수의 제곱과 같아야 한다. 이를 만족시키는 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$를 모두 구하면 $\displaystyle (1,3)$, $\displaystyle (2,4)$, $\displaystyle (5,5)$, $\displaystyle (8,4)$, $\displaystyle (9,3)$이다. 이 중에서 $\displaystyle a>b$인 경우는 $\displaystyle (8,4)$, $\displaystyle (9,3)$의 두 가지이다.그러므로 전체 경우의 수는 $\displaystyle 5+2=7$가지이다.