자연계열 3번

사각형 $\displaystyle \mathrm{P}_n\mathrm{Q}_n\mathrm{Q}_{n+1}\mathrm{P}_{n+1}$은 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_n\mathrm{Q}_n=f(a_n)$과 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_{n+1}\mathrm{Q}_{n+1}=f(a_{n+1})$를 윗변과 아랫변으로 하고, 선분 $\displaystyle \mathrm{Q}_n\mathrm{Q}_{n+1}=1$를 높이로 하는 사다리꼴이므로 $\displaystyle b_n$은 다음과 같다.$\displaystyle b_n=\frac12(f(a_{n+1})+f(a_n))=\frac12(2\ln a_1r^{n-1}+2\ln a_1r^n)=(2\ln a_1+(2n-1)\ln r)$따라서 $\displaystyle b_n$은 첫항이 $\displaystyle 2\ln a_1+\ln r$이고 공차가 $\displaystyle 2\ln r$인 등차수열이다.

또한, $\displaystyle f(2027)=19$로부터 다음 식을 얻는다.Correction. $\displaystyle f(2027)=19$는 문제의 조건 $\displaystyle f(a_{2027})=19$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle 2\ln a_1r^{2026}=2(\ln a_1+2026\ln r)=19$,　$\displaystyle 2\ln a_1=19-4052\ln r$위의 결과를 종합하면, 수열의 합은 다음과 같이 계산할 수 있다.$\displaystyle \sum_{n=1}^Nb_n=N(2\ln a_1-\ln r)+\frac{N(N+1)}2 2\ln r=N(19-4053\ln r)+N(N+1)\ln r$문제의 조건 $\displaystyle \sum_{n=1}^{2027}b_n=20270$에서, $\displaystyle N=2027$이므로$\displaystyle \sum_{n=1}^{2027}b_n=2027(19-4053\ln r)+(2027\cdot2028)\ln r=20270$가 성립하므로, 이를 정리하면 다음 결과를 얻는다.$\displaystyle \ln r=\frac9{2025}$,　$\displaystyle r=e^{\frac1{225}}$