자연계열 1번

① $\displaystyle f(x)=|x-a|+|x-b|+|x-c|=\begin{cases}(a+b+c)-3x,&x\le a\\-(a-b-c)-x,&a<x\le b\\-(a+b-c)+x,&b<x\le c\\-(a+b+c)+3x,&x>c\end{cases}$

② 그래프 그리기

③ 따라서 $\displaystyle f(x)$의 최솟값은 $\displaystyle f(b)=|b-a|+|b-c|=(b-a)+(c-b)=c-a=R$이다.

① $\displaystyle \begin{aligned}g(x)&=(x-a)^2+(x-b)^2+(x-c)^2=3x^2-2(a+b+c)x+(a^2+b^2+c^2)\\&=3\left(x-\frac{a+b+c}{3}\right)^2-\frac{(a+b+c)^2}{3}+(a^2+b^2+c^2)\end{aligned}$

② $\displaystyle g(x)$의 최솟값은 $\displaystyle -\frac{(a+b+c)^2}{3}+(a^2+b^2+c^2)$이다.

③ $\displaystyle \begin{aligned}\frac{(a+b+c)^2}{3}+(a^2+b^2+c^2)&=\frac{2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)}{3}\\&=\frac{1}{3}\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}\\&=\frac{1}{3}(P^2+Q^2+R^2)\end{aligned}$Correction. 첫 항 앞에 음수가 빠져 있다. $\displaystyle -\frac{(a+b+c)^2}{3}+(a^2+b^2+c^2)$가 맞다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

① $\displaystyle \begin{aligned}h(x)&=(x-a)^3+(x-b)^3+(x-c)^3\\&=3x^3-3(a+b+c)x^2+3(a^2+b^2+c^2)x-(a^3+b^3+c^3)\end{aligned}$

② $\displaystyle \begin{aligned}h^{\prime}(x)&=9x^2-6(a+b+c)x+3(a^2+b^2+c^2)\\&=3\{3x^2-2(a+b+c)x+a^2+b^2+c^2\}\end{aligned}$

③ $\displaystyle D=(a+b+c)^2-3(a^2+b^2+c^2)=2(ab+bc+ca)-2(a^2+b^2+c^2)$

④ $\displaystyle D=-\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}<0$이므로모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle h^{\prime}(x)>0$이다.

⑤ 따라서 $\displaystyle h(x)$는 증가함수이므로, $\displaystyle a\le x\le c$인 범위에서 함수 $\displaystyle h(x)$의 최솟값은$\displaystyle h(a)=(a-b)^3+(a-c)^3=P^3-R^3$이다.