자연계열 2번

성신여대 2019학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/sungshin/2019mo/jayeon_2

〈문제 2〉 평면 위의 두 정점으로부터의 거리의 차가 일정한 점들의 집합을 쌍곡선이라 하고, 두 정점을 쌍곡선의 초점, 두 초점을 이은 선분의 중점을 쌍곡선의 중심이라고 한다. 초점이 $\displaystyle x$ 축 위에 있고, 원점을 중심으로 하는 쌍곡선의 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다. $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\qquad(a>0,\ b>0)$ 여기에서 $\displaystyle c=\sqrt{a^2+b^2}$ 이라 할 때, 이 쌍곡선의 초점의 좌표는 $\displaystyle (-c,0)$ , $\displaystyle (c,0)$ 이다. 그리고 이때 쌍곡선 위의 점 $\displaystyle (x,y)$ 에서 두 초점까지의 거리의 차는 $\displaystyle 2a$ 이다.

평면 위의 한 점에서 전파신호를 내보내면 일정한 속도로 동심원을 이루며 퍼져나간다. 평면 위의 두 점 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ 에서 동시에 같은 전파신호를 내보냈을 때, 두 신호를 수신한 시간차가 일정한 점들의 집합은 쌍곡선을 이루며, 이 쌍곡선의 초점은 점 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ 이다.전파신호를 발사하는 $\displaystyle A$ 기지와 $\displaystyle B$ 기지가 직선 해안선을 따라 240 km 떨어져 있고, 전파의 속도는 200,000 km/s 라고 하자. 좌표평면에서 해안선을 $\displaystyle x$ 축, 두 기지의 위치를 $\displaystyle A(-120,0)$ , $\displaystyle B(120,0)$ , 바다를 집합 $\displaystyle \{(x,y)\mid y>0\}$ 으로 나타내고, 두 기지에서 동시에 전파신호를 내보냈다고 할 때, 다음 물음에 답하시오. [총 15점]

(1) 어느 배에서 $\displaystyle A$ 기지로부터의 신호가 $\displaystyle B$ 기지로부터의 신호보다 0.0005 초 늦게 수신되었다면, 이 배가 두 점 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ 를 초점으로 하는 쌍곡선 모양의 항로를 따라가서 해안에 닿는 지점의 $\displaystyle x$ 좌표를 구하시오. [5점]

(2) $\displaystyle A$ 기지와 $\displaystyle B$ 기지 사이의 중점에서 $\displaystyle 20\sqrt{70}$ km 떨어져 있는 어느 배에서 $\displaystyle A$ 기지로부터의 신호가 $\displaystyle B$ 기지로부터의 신호보다 0.001 초 빨리 수신되었을 때, 이 배의 위치의 $\displaystyle x$ 좌표를 구하시오. [10점]

해설강의 준비중

성신여대 2019학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/sungshin/2019mo/jayeon_2

+5점 · 〈문제 2(1)〉 아래에 제시된 단계에 따라 점수를 부여한다.

① 이 배는 $\displaystyle B$ 기지에 더 가까우며 두 기지까지의 거리의 차는 $\displaystyle 0.0005\times200000=100$ km이다.

② 두 점 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ 를 초점으로 하는 쌍곡선 모양의 항로를 따른다면,이 거리의 차이는 일정하게 유지되고, $\displaystyle 2a=100$ , $\displaystyle a=50$ 이다.

③ 따라서 이 배가 해안에 닿는 지점의 $\displaystyle x$ 좌표는 50이다.

+10점 · 〈문제 2(2)〉 아래에 제시된 단계에 따라 점수를 부여한다.

① 이 배는 $\displaystyle A$ 기지에 더 가까우며 두 기지까지의 거리의 차는 $\displaystyle 0.001\times200000=200$ km이므로 $\displaystyle a=100$ 이다.

② 두 초점이 $\displaystyle A(-120,0)$ , $\displaystyle B(120,0)$ 이므로, 쌍곡선의 식 $\displaystyle \frac{x^2}{100^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 에서 $\displaystyle 120^2=a^2+b^2$ 이 성립한다.

③ $\displaystyle a=100$ 이므로 $\displaystyle 120^2=100^2+b^2$ 에서 $\displaystyle b^2=120^2-100^2=14400-10000=4400$ 이다.따라서 쌍곡선의 식은 $\displaystyle \frac{x^2}{100^2}-\frac{y^2}{4400}=1$ 이다.

④ $\displaystyle A$ 기지와 $\displaystyle B$ 기지 사이의 중점은 좌표평면의 원점이고,이 지점에서 $\displaystyle 20\sqrt{70}$ km 떨어져있는 배의 위치 $\displaystyle (x,y)$ 는원의 방정식 $\displaystyle x^2+y^2=28000$ 을 만족한다.

⑤ 따라서 ③의 식과 ④의 식을 연립하여 $\displaystyle 44x^2-100y^2=440000$ $\displaystyle 100x^2+100y^2=2800000$ $\displaystyle 144x^2=3240000$ , $\displaystyle x^2=22500$ , $\displaystyle x=\pm150$ 이다.

⑥ 배가 $\displaystyle A$ 기지에 더 가까우므로, 이 배의 위치의 $\displaystyle x$ 좌표는 $\displaystyle -150$ 이다.

* 각 문제에 대하여 아래에 제시된 답안에서와 같이 단계에 따라 점수를 부여한다.

* 도출 과정이 옳으나 계산 결과가 정확히 일치하지 않으면 1점을 감점한다.

* 답안을 서술하면서 식만 나열하고, 논리적인 설명이 없으면 1점을 감점한다.

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