자연계열 1번

(1) $\displaystyle f(x)$의 차수를 $\displaystyle n$이라 하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 차수는 $\displaystyle n-1$이므로 $\displaystyle {f^{\prime}(x)}^2-8f^{\prime}(x)$의 차수는 $\displaystyle 2(n-1)$이다. 그런데 $\displaystyle F(x)$의 차수는 $\displaystyle n+1$이므로 $\displaystyle {f^{\prime}(x)}^2-8f^{\prime}(x)=kF(x)$가 성립하는 0이 아닌 실수 $\displaystyle k$가 존재하려면 $\displaystyle 2(n-1)=n+1$에서 $\displaystyle n=3$이다. 즉 $\displaystyle f(x)$의 차수는 3이다.

(2) $\displaystyle f(x)$의 최고차항의 계수는 1이고 이차항의 계수는 0이며 $\displaystyle f(0)=0$이므로 $\displaystyle f(x)=x^3+ax$로 두자.이때 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+a$이므로$\displaystyle kF(x)={f^{\prime}(x)}^2-8f^{\prime}(x)=(3x^2+a)^2-8(3x^2+a)=9x^4+6(a-4)x^2+a^2-8a$이다.따라서 $\displaystyle kf(x)=(kF(x))^{\prime}=36x^3+12(a-4)x$이므로 $\displaystyle k=36$이고, $\displaystyle 36a=12(a-4)$에서 $\displaystyle a=-2$이다. 그러므로 $\displaystyle f(x)=x^3-2x$이다.

(3) $\displaystyle f(x)=x^3-2x=x(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$이므로 그래프는 $\displaystyle x$축과 세 점 $\displaystyle (-\sqrt2,0)$, $\displaystyle (0,0)$, $\displaystyle (\sqrt2,0)$에서 만난다. $\displaystyle -\sqrt2\le x\le0$일 때 $\displaystyle f(x)\ge0$이고 $\displaystyle 0\le x\le\sqrt2$일 때 $\displaystyle f(x)\le0$이므로 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프와 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 $\displaystyle \int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}|x^3-2x|dx=2\int_0^{\sqrt2}(2x-x^3)dx=2\Biggl[x^2-\frac14x^4\Biggr]_0^{\sqrt2}=2$이다.