자연계열 3번

(1) 초기위치 $\displaystyle (x_0,y_0)=(0,0)$에서 발사된 공의 시각 $\displaystyle t$일 때의 위치가 P$\displaystyle (x,y)$이고 속도가 $\displaystyle \vec v=(v_x(t),v_y(t))=(v_0\cos\theta,\;-10t+v_0\sin\theta)$이므로 $\displaystyle x=x_0+\int_0^t v_y(t)dt=(v_0\cos\theta)t$, $\displaystyle y=y_0+\int_0^t v_y(t)dt=-5t^2+(v_0\sin\theta)t$이다. 따라서 높이 36인 위치를 지날 때 $\displaystyle t=a$라고 하면 먼저 $\displaystyle -5a^2+(v_0\sin\theta)a=36$이고, 또 이때 공의 $\displaystyle y$방향 속도로부터 $\displaystyle -10a+v_0\sin\theta=24$이다. 이 두 식으로부터 $\displaystyle 5a^2+24a-36=(5a-6)(a+6)=0$, 즉 $\displaystyle a=\frac65$ $\displaystyle (>0)$이고, $\displaystyle v_0\sin\theta=36$임을 얻는다. 한편, 공이 최대 높이에 도달했을 때 $\displaystyle t=b$라고 하면, 이때 공의 $\displaystyle y$방향 속도가 0이므로 $\displaystyle 0=-10b+v_0\sin\theta=-10b+36$, 즉 $\displaystyle b=\frac{18}5$이다. 따라서 공이 도달하는 최대 높이는 $\displaystyle -5b^2+(v_0\sin\theta)b=\frac{324}5=64.8$이다.Correction. $\displaystyle x$좌표를 구하는 적분의 $\displaystyle v_y(t)$는 $\displaystyle v_x(t)$의 오기이다. $\displaystyle x$방향 속도는 $\displaystyle v_x(t)=v_0\cos\theta$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(2) 공의 $\displaystyle x$방향 속도는 일정하므로 $\displaystyle v_x(t)=v_0\cos\theta=15$이다. 공이 다시 지면에 닿을 때 시각을 $\displaystyle t=c$ $\displaystyle (c>0)$라고 하면 $\displaystyle -5c^2+(v_0\sin\theta)c=c(-5c+36)=0$이므로 $\displaystyle c=\frac{36}5$이다. 따라서 공이 다시 지면에 닿는 지점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle (v_0\cos\theta)c=15\times\frac{36}5=108$이다.

(3) 지면과 예각 $\displaystyle \frac\theta2$를 이루는 방향으로 발사된 공의 시각 $\displaystyle t$일 때의 속도는 $\displaystyle \left(v_0\cos\frac\theta2,\;-10t+v_0\sin\frac\theta2\right)$가 되며, 위치는 $\displaystyle \left(\left(v_0\cos\frac\theta2\right)t,\;-5t^2+\left(v_0\sin\frac\theta2\right)t\right)$가 된다. 발사된 공이 지면에 다시 닿을 때 $\displaystyle t=d$라고 하면 $\displaystyle 0=-5d^2+\left(v_0\sin\frac\theta2\right)d$로부터 $\displaystyle d=\frac{v_0}5\sin\frac\theta2$이다. 공의 $\displaystyle x$방향 속도는 $\displaystyle v_0\cos\frac\theta2$으로 일정하므로 공이 다시 지면에 닿는 지점의 $\displaystyle x$좌표는$\displaystyle \left(v_0\sin\frac\theta2\right)d=\left(v_0\sin\frac\theta2\right)\left(\frac{v_0}5\cos\frac\theta2\right)=\frac{v_0}{10}(v_0\sin\theta)$이다. 앞에서 $\displaystyle v_0\sin\theta=36$과 $\displaystyle v_0\cos\theta=15$이었고, $\displaystyle v_0=\sqrt{(v_0\cos\theta)^2+(v_0\sin\theta)^2}=\sqrt{15^2+36^2}=39$이므로 지면에 닿는 지점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac{39}{10}\times36=\frac{702}5=140.4$이다.Correction. $\displaystyle x$좌표는 수평 속도 $\displaystyle v_0\cos\frac\theta2$에 비행 시간 $\displaystyle d=\frac{v_0}5\sin\frac\theta2$를 곱한 값이다. 예시답안의 $\displaystyle \left(v_0\sin\frac\theta2\right)d$는 $\displaystyle \left(v_0\cos\frac\theta2\right)d$의 오기이며, $\displaystyle d$를 대입한 식에서도 두 인수의 $\displaystyle \sin$과 $\displaystyle \cos$이 서로 바뀌었다. 대학 채점기준에는 두 인수가 올바르게 적혀 있다. 원칙에 따라 이 탭에는 예시답안의 원문 표기를 그대로 실었다.