자연계열 2번

(1) 원의 접선의 성질에 의하여 $\displaystyle \overline{OP}\perp\overline{PR}$이므로 $\displaystyle \triangle OPR$은 직각삼각형이다.따라서 $\displaystyle \cos\theta=\frac1{\overline{OR}}$, 즉 $\displaystyle \overline{OR}=\sec\theta$이다.그리고 $\displaystyle \angle ROA=2\theta$이므로 점 R의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \sec\theta\cos2\theta$이다.

(2) 직각삼각형 $\displaystyle \triangle OPR$에서 변 OP의 길이는 1이고, 변 PR의 길이는 $\displaystyle \tan\theta$이므로$\displaystyle f(\theta)=2\left(\frac12\overline{OP}\times\overline{PR}\right)=\overline{PR}=\tan\theta$이다.

(3) 부채꼴 POA의 넓이는 호도법으로 나타낸 중심각 $\displaystyle \theta$에 대하여 $\displaystyle S=\frac12r^2\theta$이므로$\displaystyle g(\theta)=\frac12\times1^2\times\theta=\frac\theta2$이다. 그리고 $\displaystyle \lim_{\theta\to0+}\frac{\sin\theta}\theta=1$이므로$\displaystyle \lim_{\theta\to0+}\frac{f(\theta)}{g(\theta)}=\lim_{\theta\to0+}\frac{\tan\theta}{\frac\theta2}=\lim_{\theta\to0+}\left(\frac{\sin\theta}\theta\cdot\frac2{\cos\theta}\right)=\left(\lim_{\theta\to0+}\frac{\sin\theta}\theta\right)\cdot\left(\lim_{\theta\to0+}\frac2{\cos\theta}\right)=2$이다.