자연계열 4번

(1) $\displaystyle p\times q\times r=5^n$이고 $\displaystyle p,q,r$은 2 이상의 정수이므로 $\displaystyle p=5^x,q=5^y,r=5^z$인 자연수 $\displaystyle x,y,z$가 존재한다. 따라서 $\displaystyle 5^{x+y+z}=5^n$이고 $\displaystyle x+y+z=n$이므로 $\displaystyle n\ge3$일 때 $\displaystyle a_n\ne0$이다. 즉 $\displaystyle a_n\ne0$인 자연수 $\displaystyle n$의 최솟값은 3이므로 $\displaystyle k=3$이다.

(2) 조건을 만족하는 $\displaystyle (p,q,r)$의 개수는 $\displaystyle x+y+z=n$을 만족하는 자연수의 개수와 같으므로 $\displaystyle a_n={}_3\mathrm{H}_{n-3}={}_{n-1}\mathrm{C}_{n-3}={}_{n-1}\mathrm{C}_2=\frac{(n-1)(n-2)}2$이다. 따라서 $\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=k}^\infty\frac1{a_n}&=\sum_{n=3}^\infty\frac2{(n-1)(n-2)}=2\sum_{n=3}^\infty\left(\frac1{n-2}-\frac1{n-1}\right)\\&=\lim_{m\to\infty}2\left\{\left(\frac11-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+\left(\frac1{m-1}-\frac1m\right)\right\}=2\end{aligned}$이다.