자연계열 1번

(1) ① $\displaystyle y=x^2-ax+b$와 $\displaystyle y=-x+b$의 교점 A, C의 $\displaystyle x$좌표는 방정식$\displaystyle -x+b=x^2-ax+b$의 근이므로 $\displaystyle x(x-a+1)=0$에서② $\displaystyle x=0$ 또는 $\displaystyle x=a-1$이다.③ $\displaystyle x=0$일 때 $\displaystyle y=b$이므로 A$\displaystyle (0,b)$이고 D의 $\displaystyle y$좌표는 A의 $\displaystyle y$좌표와 같은 $\displaystyle b$이다.$\displaystyle b=x^2-ax+b$에서 $\displaystyle x(x-a)=0$인데, $\displaystyle x\ne0$이므로 $\displaystyle x=a$이다.④ 즉 D$\displaystyle (a,b)$인데, D가 직선 $\displaystyle y=2x-8$위에 있으므로 $\displaystyle b=2a-8$이다.

(2) ① B, D의 $\displaystyle x$좌표는 방정식 $\displaystyle x^2-ax+b=2x-8$의 근이다.② 이때 $\displaystyle 2x-8=x^2-ax+2a-8$에서$\displaystyle x^2-(a+2)x+2a=(x-2)(x-a)=0$이고,D의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle a$이므로 B의 $\displaystyle x$좌표는 2이다.③ B의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle y=2\times2-8=-4$이다. 즉 B$\displaystyle (2,-4)$이다.④ 또 C의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle x=a-1$이므로 $\displaystyle y=-(a-1)+b=a-7$이다.따라서 C$\displaystyle (a-1,a-7)$이다.⑤ $\displaystyle \overline{BC}=\sqrt{(a-1-2)^2+(a-7+4)^2}=|a-3|\sqrt2=3\sqrt2$에서 $\displaystyle a=0$ 또는 $\displaystyle a=6$이다.그런데 $\displaystyle a$는 양수이므로 $\displaystyle a=6$이다. 따라서 $\displaystyle b=2a-8=4$이다.

(3) ① A$\displaystyle (0,4)$, B$\displaystyle (2,-4)$, C$\displaystyle (5,-1)$, D$\displaystyle (6,4)$이므로$\displaystyle \overline{BD}=\sqrt{(6-2)^2+(4+4)^2}=4\sqrt5$이고,② 직선 BD의 방정식은 $\displaystyle 2x-y-8=0$이다.③ A$\displaystyle (0,4)$에서 $\displaystyle \overline{BD}$에 내린 수선의 길이는 $\displaystyle \frac{|2\times0-4-8|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{12}{\sqrt5}$이므로 $\displaystyle \triangle ABD=\frac12\times4\sqrt5\times\frac{12}{\sqrt5}=24$이다.④ 또, C$\displaystyle (3,-4)$에서 $\displaystyle \overline{BD}$에 내린 수선의 길이는 $\displaystyle \frac{|2\times5-(-1)-8|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac3{\sqrt5}$이다.Correction. 점 C의 좌표 $\displaystyle (3,-4)$는 $\displaystyle (5,-1)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 $\displaystyle \triangle BCD=\frac12\times4\sqrt5\times\frac3{\sqrt5}=6$이다.⑤ 따라서 사각형 ABCD의 넓이는 $\displaystyle \triangle ABD+\triangle BCD=24+6=30$이다.