자연계열 4번

(1) ① 상자 안에 들어있는 $\displaystyle n$개의 탁구공 중에서 노란색 공은 6개, 흰색 공은 $\displaystyle n-6$개가 있다.② 상자에서 임의로 4개의 탁구공을 꺼내는 경우의 수는 $\displaystyle {}_n\mathrm{C}_4$이고,③ 노란색 공 6개 중 2개를 꺼내고 흰색 공 $\displaystyle n-6$개 중에서 2개를 꺼내는 경우의 수는$\displaystyle {}_6\mathrm{C}_2\times{}_{n-6}\mathrm{C}_2$이므로④ 구하는 확률은 $\displaystyle p_n=\frac{{}_6\mathrm{C}_2\times{}_{n-6}\mathrm{C}_2}{{}_n\mathrm{C}_4}$

(2) ① 부등식 $\displaystyle p_n\le p_{n+1}$에서 $\displaystyle \frac{{}_6\mathrm{C}_2\times{}_{n-6}\mathrm{C}_2}{{}_n\mathrm{C}_4}\le\frac{{}_6\mathrm{C}_2\times{}_{n-5}\mathrm{C}_2}{{}_{n+1}\mathrm{C}_4}$이므로② $\displaystyle {}_{n+1}\mathrm{C}_4\times{}_{n-6}\mathrm{C}_2\le{}_n\mathrm{C}_4\times{}_{n-5}\mathrm{C}_2$③ $\displaystyle \frac{(n+1)!}{4!\times(n-3)!}\times\frac{(n-6)(n-7)}2\le\frac{n!}{4!\times(n-4)!}\times\frac{(n-5)(n-6)}2$④ 이 식을 정리하면 $\displaystyle (n+1)(n-7)\le(n-3)(n-5)$이다.⑤ 이 부등식을 풀면 $\displaystyle n\le11$이다. (※여기까지만 있어도 정답으로 인정함)또 문제의 조건에서 $\displaystyle n\ge8$이므로, $\displaystyle 8\le n\le11$이다.

(3) ① (2)의 결과에 의하여 $\displaystyle 8\le n\le11$이면 $\displaystyle p_n\le p_{n+1}$이고, $\displaystyle n\ge12$이면 $\displaystyle p_{n+1}<p_n$이다.② 따라서 $\displaystyle p_n$의 최댓값은 $\displaystyle p_{12}$이다.③ 그런데 $\displaystyle p_{12}=\frac{{}_6\mathrm{C}_2\times{}_{12-6}\mathrm{C}_2}{{}_{12}\mathrm{C}_4}=\frac{15\times15}{\frac{12\times11\times10\times9}{4!}}=\frac5{11}$이므로④ $\displaystyle p_n$의 최댓값은 $\displaystyle \frac5{11}$이다.