자연계열 3번

(1) ① 곡선 위의 $\displaystyle t=\frac{5\pi}{12}$에 대응되는 점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle x=3\cos\frac{5\pi}{12}$이다.② $\displaystyle \cos\frac{5\pi}{12}=\cos\left(\frac\pi6+\frac\pi4\right)$③ $\displaystyle 3\cos\left(\frac\pi6+\frac\pi4\right)=3\left(\cos\frac\pi6\cos\frac\pi4-\sin\frac\pi6\sin\frac\pi4\right)$④ $\displaystyle =3\left(\frac{\sqrt3}{2\sqrt2}-\frac1{2\sqrt2}\right)=\frac{3(\sqrt6-\sqrt2)}4=a\sqrt2+b\sqrt6$ 따라서 $\displaystyle a=-\frac34$, $\displaystyle b=\frac34$

(2) ① 점 $\displaystyle (x,y)=(3\cos\alpha,2\sin\alpha)$에서 접하는 접선의 기울기는$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2\cos\alpha}{-3\sin\alpha}=-\frac23\cot\alpha$이다.② 접선의 방정식은$\displaystyle y=-\frac23\cot\alpha\,(x-3\cos\alpha)+2\sin\alpha=-\frac23\cot\alpha\,x+2\csc\alpha$이다.③ 이 접선이 $\displaystyle y$축과 만나는 점의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle y=2\csc\alpha$이고, 이 접선이$\displaystyle x$축과 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle 0=-\frac23\cot\alpha\,x+2\csc\alpha$로부터$\displaystyle x=\frac{3\csc\alpha}{\cot\alpha}=3\sec\alpha$이다.④ 따라서 이 접선이 $\displaystyle x$축과 만나는 점의 좌표는 $\displaystyle (3\sec\alpha,0)$, $\displaystyle y$축과 만나는 점의 좌표는$\displaystyle (0,2\csc\alpha)$이다.

(3) ① $\displaystyle L^2=9\sec^2\alpha+4\csc^2\alpha$이고, 주어진 조건으로부터$\displaystyle 28=9\sec^2\alpha+4\csc^2\alpha$이다.② 삼각함수 사이의 관계로부터$\displaystyle \sec^2\alpha=1+\tan^2\alpha$, $\displaystyle \csc^2\alpha=1+\cot^2\alpha$이다.③ $\displaystyle k=\tan^2\alpha$로 두면$\displaystyle 28=9(1+k)+4\left(1+\frac1k\right)$,즉 $\displaystyle 9k^2-15k+4=(3k-4)(3k-1)=0$으로부터 $\displaystyle k=\frac13$ 또는 $\displaystyle \frac43$이다.④ 문제의 조건 $\displaystyle 0<\alpha<\frac\pi4$으로부터 $\displaystyle 0<\tan\alpha<1$이다.따라서 $\displaystyle k=\tan^2\alpha=\frac13$이고, $\displaystyle \tan\alpha=\frac1{\sqrt3}$이다.⑤ 그러므로 $\displaystyle \alpha=\frac\pi6$이다.