자연계열 2번

(1) ① 부채꼴 OAB의 둘레의 길이는 $\displaystyle r+r+r\theta=r(2+\theta)$② 정삼각형 CDE의 둘레의 길이는 $\displaystyle 3x$③ 앞의 ①, ②에서 $\displaystyle 3x=r(2+\theta)$④ 따라서 $\displaystyle x=\frac{r(2+\theta)}3$

(2) ① 부채꼴 OAB의 넓이는 $\displaystyle S=\frac12r^2\theta$② 정삼각형 CDE의 넓이는 $\displaystyle T=\frac{\sqrt3}4x^2=\frac{\sqrt3}4\times\frac{r^2(2+\theta)^2}9=\frac{\sqrt3r^2(2+\theta)^2}{36}$③ 따라서 $\displaystyle f(\theta)=\frac TS=\frac{\frac{\sqrt3r^2(2+\theta)^2}{36}}{\frac12r^2\theta}=\frac{\sqrt3(2+\theta)^2}{18\theta}$

(3) ① $\displaystyle \theta>0$에서 $\displaystyle 18\theta\ne0$이므로 $\displaystyle f(\theta)$는 미분가능하다.② $\displaystyle f^{\prime}(\theta)=\frac{\sqrt3}{18}\times\frac{2(2+\theta)\times\theta-(2+\theta)^2}{\theta^2}=\frac{\sqrt3(2+\theta)(\theta-2)}{18\theta^2}$이므로③ $\displaystyle f^{\prime}(\theta)=0$이면 $\displaystyle \theta=2$이다.④ $\displaystyle \theta<2$이면 $\displaystyle f^{\prime}(\theta)<0$이고, $\displaystyle \theta>2$이면 $\displaystyle f^{\prime}(\theta)>0$이므로 $\displaystyle f(\theta)$는 $\displaystyle \theta=2$일 때 극솟값을 갖고이것이 최솟값이다.⑤ $\displaystyle f(\theta)$의 최솟값은 $\displaystyle f(2)=\frac{\sqrt3(2+2)^2}{18\times2}=\frac{4\sqrt3}9$