자연계열 1번

(1)$\displaystyle \angle P_nOR_n=\frac12\times\frac{2\pi}n=\frac\pi n$이고, $\displaystyle OP_n=1$, $\displaystyle P_nR_n=\sin\frac\pi n$, $\displaystyle OR_n=\cos\frac\pi n$이므로직각삼각형 $\displaystyle OP_nR_n$의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times\sin\frac\pi n\times\cos\frac\pi n$이다.

(2)정$\displaystyle n$각형에 내접하는 원 $\displaystyle O_n$의 반지름의 길이는 $\displaystyle OR_n=\cos\frac\pi n$이므로, 원 $\displaystyle O_n$의 넓이는$\displaystyle a_n=\pi\left(\cos\frac\pi n\right)^2$이고, 둘레의 길이는 $\displaystyle b_n=2\pi\cos\frac\pi n$이다.따라서 $\displaystyle b_6-2a_6=2\pi\cos\frac\pi6-2\pi\left(\cos\frac\pi6\right)^2=\pi\sqrt3-\frac32\pi=\frac{\pi(2\sqrt3-3)}2$이다.

(3)$\displaystyle n^2(b_n-2a_n)=n^2\left(2\pi\cos\frac\pi n-2\pi\left(\cos\frac\pi n\right)^2\right)=2\pi^3\times\cos\frac\pi n\times\frac{1-\cos\frac\pi n}{\left(\frac\pi n\right)^2}$이고,$\displaystyle x=\frac\pi n$로 두면$\displaystyle \lim_{x\to0}\cos x=1$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\cos\frac\pi n=1$이고,$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{1-\cos^2x}{x^2(1+\cos x)}=\lim_{x\to0}\frac{\sin^2x}{x^2(1+\cos x)}$인데,여기에서 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$이므로$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\left(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x\right)^2\times\lim_{x\to0}\frac1{1+\cos x}=1^2\times\frac12=\frac12$이다.따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1-\cos\frac\pi n}{\left(\frac\pi n\right)^2}=\frac12$이므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^2(b_n-2a_n)=2\pi^3\times1\times\frac12=\pi^3$이다.