자연계열 4번

(1)$\displaystyle 0\le n\le20$인 정수 $\displaystyle n$에 대하여 주어진 도형의 둘레와 내부에 놓인 각 좌표가 정수인 순서쌍 중 $\displaystyle x=n$인 점의 개수를 세면 직선 PR의 방정식은 $\displaystyle 2x+y=20$, 직선 QR의 방정식은 $\displaystyle x+y=20$이므로$\displaystyle \begin{cases}n+1,&0\le n\le10\\21-n,&11\le n\le20\end{cases}$을 만족한다.

따라서 각 좌표가 정수인 점의 개수는 $\displaystyle \sum_{n=0}^{10}(n+1)+\sum_{n=11}^{20}(21-n)=2\sum_{n=1}^{10}n+11=121$개다.

(2)자연수 $\displaystyle n$에 대하여 좌표평면 위의 네 점 $\displaystyle A(n,0)$, $\displaystyle B(0,n)$, $\displaystyle C(-n,0)$, $\displaystyle D(0,-n)$을 꼭짓점으로 하는 정사각형 ABCD의 둘레와 내부에 놓여 있는 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$좌표가 모두 정수인 점의 개수를 $\displaystyle N(n)$을 구하자. $\displaystyle -n\le k\le n$인 정수 $\displaystyle k$에 대하여 정사각형 ABCD의 둘레와 내부에 놓인 각 좌표가 정수인 점 중 $\displaystyle x=k$인 점의 개수는 $\displaystyle 2n-2|k|+1$개다.

따라서 $\displaystyle N(n)=\sum_{k=-n}^n(2n-2|k|+1)=2n+1+2\sum_{k=1}^n(2n-2k+1)=2n^2+2n+1$이고, 이로부터$\displaystyle \sum_{k=1}^nN(k)=2\times\frac{n(n+1)(2n+1)}6+2\times\frac{n(n+1)}2+n$이다. $\displaystyle n=11$인 경우 계산하면 1155이다.

(3)$\displaystyle x+y+z=20$을 만족하는 자연수의 순서쌍 $\displaystyle (x,y,z)$ 중 $\displaystyle x$는 홀수, $\displaystyle y$는 짝수, $\displaystyle z$는 소수인 해의 개수를 구하는 문제이므로 음이 아닌 정수 $\displaystyle s,t$에 대해 $\displaystyle x=2s+1$, $\displaystyle y=2t+2$로 쓸 수 있고 따라서 주어진 문제는 $\displaystyle (2s+1)+(2t+2)+z=20$을 만족하는 음이 아닌 정수 $\displaystyle s,t$와 소수 $\displaystyle z$의 쌍의 개수를 구하면 된다. $\displaystyle z$은 17보다 작거나 같은 홀수인 소수이므로 3, 5, 7, 11, 13, 17중 하나이다.$\displaystyle z=3$인 경우: $\displaystyle s+t=7$인 음이 아닌 정수해의 개수는 8개$\displaystyle z=5$인 경우: $\displaystyle s+t=6$인 음이 아닌 정수해의 개수는 7개$\displaystyle z=7$인 경우: $\displaystyle s+t=5$인 음이 아닌 정수해의 개수는 6개$\displaystyle z=11$인 경우: $\displaystyle s+t=3$인 음이 아닌 정수해의 개수는 4개$\displaystyle z=13$인 경우: $\displaystyle s+t=2$인 음이 아닌 정수해의 개수는 3개$\displaystyle z=17$인 경우: $\displaystyle s+t=0$인 음이 아닌 정수해의 개수는 1개따라서 구하는 수는 $\displaystyle 8+7+6+4+3+1=29$이다.