자연계열 2번

(1)구간 $\displaystyle [1,2]$에서 연속인 함수 $\displaystyle g(x)=4-\cos\pi x-f(x)$에 대하여 $\displaystyle g(x)\ge0$이므로$\displaystyle G(x)=\int_0^x g(t)dt$로 두면 $\displaystyle 1\le a<b\le2$일 때 $\displaystyle G(b)-G(a)=\int_a^b g(t)dt\ge0$,즉 $\displaystyle G(a)\le G(b)$가 성립한다. 그런데$\displaystyle G(1)=\int_0^1g(t)dt=\int_0^1(4-\cos\pi t-f(t))dt=\Biggl[4t-\frac1\pi\sin\pi t\Biggr]_0^1-F(1)=4-2=2$$\displaystyle G(2)=\int_0^2g(t)dt=\int_0^2(4-\cos\pi t-f(t))dt=\Biggl[4t-\frac1\pi\sin\pi t\Biggr]_0^2-F(2)=8-6=2$,즉 $\displaystyle G(1)=2=G(2)$이므로 $\displaystyle 1\le x\le2$인 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle G(x)=2$인 상수함수이다.따라서 $\displaystyle 1<x<2$인 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle 0=G^{\prime}(x)=g(x)=4-\cos\pi x-f(x)$이고,$\displaystyle f(x)=4-\cos\pi x$이다. 그러므로 $\displaystyle f\left(\frac32\right)=4$이다.

(2)구간 $\displaystyle [0,1]$에서 $\displaystyle f(x)=a\sin\pi x+b\cos\pi x$이므로 $\displaystyle f(1)=b\cos\pi=-b$이며,구간 $\displaystyle [1,2]$에서 $\displaystyle f(x)=4-\cos\pi x$이므로 $\displaystyle f(1)=4-\cos\pi=4-(-1)=5$이다.이때 $\displaystyle f$가 $\displaystyle x=1$에서 연속이므로 $\displaystyle b=-5$이다. 그리고$\displaystyle 2=F(1)=\int_0^1(a\sin\pi t-5\cos\pi t)dt=\Biggl[-\frac a\pi\cos\pi t-\frac5\pi\sin\pi t\Biggr]_0^1=\frac{2a}\pi$이므로$\displaystyle a=\pi$이다.

(3)$\displaystyle F\left(\frac12\right)=\int_0^{\frac12}f(t)dt=\int_0^{\frac12}(\pi\sin\pi t-5\cos\pi t)dt=\Biggl[-\cos\pi t-\frac5\pi\sin\pi t\Biggr]_0^{\frac12}=-\frac5\pi+1$$\displaystyle \begin{aligned}F\left(\frac32\right)&=\int_0^{\frac32}f(t)dt=\int_0^1 f(t)dt+\int_1^{\frac32}(4-\cos\pi t)dt\\&=F(1)+\Biggl[4t-\frac1\pi\sin\pi t\Biggr]_1^{\frac32}=2+2+\frac1\pi=4+\frac1\pi\end{aligned}$따라서 $\displaystyle F\left(\frac12\right)+F\left(\frac32\right)=5-\frac4\pi$이다.