자연계열 3번

(1)반지름의 길이가 $\displaystyle 2\pi$인 원에 내접하는 삼각형 ABC의 한 변의 길이는$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=2\times2\pi\times\sin\frac\pi3=2\times2\pi\times\cos\frac\pi6=2\pi\sqrt3$이다.직선 AB가 점 $\displaystyle P_0$에서 원 $\displaystyle C_1$에 접하므로 직선 AB와 직선 $\displaystyle O_1P_0$는 서로 수직이고 직선 BC와 $\displaystyle x$축은 서로 평행하므로 각 $\displaystyle P_0O_1O_0$의 크기는 $\displaystyle \frac\pi6$이다. 그러므로 각 $\displaystyle P_0O_1P_1$의 크기는 $\displaystyle \frac{2\pi}3$이고 호 $\displaystyle P_0P_1$의 길이는 $\displaystyle r\times\frac{2\pi}3$이다. 문제의 조건으로부터 선분 AB의 길이와 호 $\displaystyle P_0P_1$의 길이가 같으므로$\displaystyle 2\pi\sqrt3=r\times\frac{2\pi}3$이고 이로부터 $\displaystyle r=3\sqrt3$이다.

(2)선분 $\displaystyle P_0P_1$의 길이는 반지름의 길이가 $\displaystyle 3\sqrt3$인 원의 중심각 $\displaystyle \frac{2\pi}3$에 대응하는 현의 길이이므로$\displaystyle 2\times3\sqrt3\times\sin\frac\pi3=9$이다. 따라서 $\displaystyle \triangle\mathrm{ABC}$가 주어진 길을 따라 한 바퀴 돌 때 선분 AA′의 길이는 $\displaystyle 3\times\overline{P_0P_1}=3\times9=27$이다.

(3)구하는 도형의 넓이는 사각형 $\displaystyle RSO_2O_1$의 넓이에서 부채꼴 $\displaystyle O_1RQ$의 넓이와 부채꼴 $\displaystyle O_2QS$의 넓이, 그리고 삼각형 $\displaystyle O_1QO_2$의 넓이의 합을 빼면 된다.사각형 $\displaystyle RSO_2O_1$의 넓이: 주어진 사각형은 직사각형이고 $\displaystyle \overline{O_1O_2}=\overline{P_0P_1}$, $\displaystyle \overline{O_1R}=r$이므로$\displaystyle \overline{O_1O_2}\times\overline{O_1R}=9\times3\sqrt3=27\sqrt3$부채꼴 $\displaystyle O_1RQ$와 부채꼴 $\displaystyle O_2QS$의 넓이는 같고 이 부채꼴의 반지름의 길이는 $\displaystyle r=3\sqrt3$, 중심각은 $\displaystyle \frac\pi3$이므로 각각의 넓이는 $\displaystyle \frac12r^2\theta=\frac12\times(3\sqrt3)^2\times\frac\pi3=\frac{9\pi}2$$\displaystyle \triangle O_1QO_2$의 넓이: $\displaystyle \frac12\times\overline{\mathrm{PQ}}\times r\sin\frac\pi6=\frac12\times9\times3\sqrt3\times\frac12=\frac{27\sqrt3}4$Correction. 삼각형 $\displaystyle O_1QO_2$의 넓이 식에 나온 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}$는 밑변 $\displaystyle \overline{O_1O_2}$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 구하는 넓이는 $\displaystyle \frac{81\sqrt3}4-9\pi=\frac94\times(9\sqrt3-4\pi)$이다.