자연계열 1번

(1) 조건 (가)를 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)-x^3}{x^2}=-1$로 변형할 수 있다. 이로부터 $\displaystyle f(x)$는 최고차항이 $\displaystyle x^3$인 다항함수가 되어, $\displaystyle f(x)=x^3+ax^2+bx+c$로 놓을 수 있다. 조건 (가)의 극한값이 $\displaystyle -1$이므로, $\displaystyle f(x)$의 이차항의 계수가 $\displaystyle -1$이 되어 $\displaystyle a=-1$이다. 조건 (나)를 통하여 $\displaystyle f(0)=0$이므로 $\displaystyle b=0$이고, $\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac14$이므로 $\displaystyle c=\frac14$이 된다.Correction. 계수 표기의 $\displaystyle b=0$, $\displaystyle c=\frac14$는 각각 $\displaystyle c=0$, $\displaystyle b=\frac14$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서, $\displaystyle f(x)=x^3-x^2+\frac14x$이다.

(2) $\displaystyle f(x)=x^3-x^2+\frac14x=x\left(x-\frac12\right)^2$이고, $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-2x+\frac14=\frac14(12x^2-8x+1)=\frac14(2x-1)(6x-1)$이 된다. $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 그래프를 통해 $\displaystyle x=\frac16$일 때 $\displaystyle f(x)$는 극댓값 $\displaystyle f\left(\frac16\right)=\frac1{54}$을 갖고, $\displaystyle x=\frac12$일 때 극솟값 $\displaystyle f\left(\frac12\right)=0$을 갖는다. 따라서, 극대 및 극소를 나타내는 점의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac16,\frac1{54}\right)$, $\displaystyle \left(\frac12,0\right)$이다.또한, $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=6x-2$이므로, $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)$의 그래프를 통해 $\displaystyle x=\frac13$에서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)$의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac13,\frac1{108}\right)$이다. 따라서, 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프의 개형을 다음과 같이 그릴 수 있다.

변곡점의 좌표가 $\displaystyle \left(\frac13,\frac1{108}\right)$이므로, 직접 계산을 통해 다음과 같이 보일 수 있다. $\displaystyle \begin{aligned}f\left(\frac13-x\right)+f\left(\frac13+x\right)&=\left(\frac13-x\right)\left(x+\frac16\right)^2+\left(\frac13+x\right)\left(x-\frac16\right)^2\\&=\left(\frac13-x\right)\left(x^2+\frac13x+\frac1{36}\right)+\left(\frac13+x\right)\left(x^2-\frac13x+\frac1{36}\right)\\&=\left(\frac13x^2+\frac19x+\frac1{108}-x^3-\frac13x^2-\frac1{36}x\right)+\left(\frac13x^2-\frac19x+\frac1{108}+x^3-\frac13x^2+\frac1{36}x\right)\\&=\frac1{54}=2\cdot\frac1{108}=2f\left(\frac13\right)\end{aligned}$

(3) 위로부터 $\displaystyle g(x)=f\left(\frac13\right)=\frac1{108}$임을 알 수 있다. 따라서, $\displaystyle k$의 값이 주어졌을 때, $\displaystyle y=\left|f(x)-f\left(\frac13\right)\right|$의 그래프와 $\displaystyle y=k$의 그래프가 만나는 점의 개수를 구하면 된다.(i) $\displaystyle k<0$ : 이 경우에는 $\displaystyle k$의 값이 음수이므로 두 그래프는 만나지 않는다. 따라서, $\displaystyle p(k)=0$이다.(ii) $\displaystyle k=0$ : 이 경우에는 세 점에서 만나는 것을 확인할 수 있다. 따라서, $\displaystyle p(0)=3$이다.(iii) $\displaystyle 0<k<\frac1{108}$ : 이 경우에는 6개의 점에서 만나므로 $\displaystyle p(k)=6$이다.(iv) $\displaystyle k=\frac1{108}$ : 이 경우에는 4개의 점에서 만나므로 $\displaystyle p\left(\frac1{108}\right)=4$이다.(v) $\displaystyle k>\frac1{108}$ : 이 경우에는 두 점에서 만나므로 $\displaystyle p(k)=2$이다.이를 통해 함수 $\displaystyle p(k)$는 $\displaystyle k=0,\;\frac1{108}$에서 불연속임을 알 수 있다.