자연계열 2번

(1) $\displaystyle 2-x=u$로 치환을 하면, 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. $\displaystyle \int_1^2g^{\prime}(x)f(2-x)dx=\int_1^0g^{\prime}(2-u)f(u)(-du)=\int_0^1g^{\prime}(2-u)f(u)du$따라서, $\displaystyle H(1)$을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $\displaystyle \begin{aligned}H(1)&=\int_0^1f^{\prime}(x)g(2-x)dx-\int_1^2g^{\prime}(x)f(2-x)dx=\int_0^1f^{\prime}(x)g(2-x)dx-\int_0^1g^{\prime}(2-u)f(u)du\\&=\int_0^1\{f^{\prime}(x)g(2-x)-f(x)g^{\prime}(2-x)\}dx\end{aligned}$부분적분법을 이용하여 다음의 정적분을 계산하면 $\displaystyle H(1)=\int_0^1\{f^{\prime}(x)g(2-x)-f(x)g^{\prime}(2-x)\}dx=\Biggl[f(x)g(2-x)\Biggr]_0^1=f(1)g(1)-f(0)g(2)$이 되고,$\displaystyle f(1)$, $\displaystyle g(1)$, $\displaystyle f(0)$, $\displaystyle g(2)$의 값을 이용하면 $\displaystyle H(1)=2\cdot5-1\cdot(-1)=11$이 된다.

(2) $\displaystyle 2n-x=u$로 치환을 하면, 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. $\displaystyle \int_n^{2n}g^{\prime}(x)f(2n-x)dx=\int_n^0g^{\prime}(2n-u)f(u)(-du)=\int_0^ng^{\prime}(2n-u)f(u)du$따라서, $\displaystyle H(n)$을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $\displaystyle \begin{aligned}H(n)&=\int_0^nf^{\prime}(x)g(2n-x)dx-\int_n^{2n}g^{\prime}(x)f(2n-x)dx=\int_0^nf^{\prime}(x)g(2n-x)dx-\int_0^ng^{\prime}(2n-u)f(u)du\\&=\int_0^n\{f^{\prime}(x)g(2n-x)-f(x)g^{\prime}(2n-x)\}dx\end{aligned}$부분적분법을 이용하여 다음의 정적분을 계산하면 $\displaystyle H(n)=\int_0^n\{f^{\prime}(x)g(2n-x)-f(x)g^{\prime}(2n-x)\}dx=\Biggl[f(x)g(2n-x)\Biggr]_0^n=f(n)g(n)-f(0)g(2n)$$\displaystyle f(x)=a^x$이고, $\displaystyle g(x)=\sin\frac\pi4x$이므로 $\displaystyle H(n)=a^n\sin\frac{n\pi}4-\sin\frac{n\pi}2$가 된다.

(3) <문제 2> (2)에서 $\displaystyle H(n)=\left(\frac1{\sqrt2}\right)^n\sin\frac{n\pi}4-\sin\frac{n\pi}2$임을 알 수 있고, $\displaystyle a_n=H(4n-3)+H(4n-1)$이라 하자. $\displaystyle \begin{aligned}a_n&=H(4n-3)+H(4n-1)\\&=\left(\frac1{\sqrt2}\right)^{4n-3}\sin\frac{(4n-3)\pi}4-\sin\frac{(4n-3)\pi}2+\left(\frac1{\sqrt2}\right)^{4n-1}\sin\frac{(4n-1)\pi}4-\sin\frac{(4n-1)\pi}2\end{aligned}$인데, 삼각함수의 대칭성과 주기성에 의해 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle \sin\frac{(4n-3)\pi}2+\sin\frac{(4n-1)\pi}2=0$이 성립하므로 $\displaystyle a_n=H(4n-3)+H(4n-1)=\left(\frac1{\sqrt2}\right)^{4n-3}\sin\frac{(4n-3)\pi}4+\left(\frac1{\sqrt2}\right)^{4n-1}\sin\frac{(4n-1)\pi}4$이다.이 때, $\displaystyle a_{n+1}$을 계산해보면, $\displaystyle a_{n+1}=H(4n+1)+H(4n+3)=\left(\frac1{\sqrt2}\right)^{4n+1}\sin\frac{(4n+1)\pi}4+\left(\frac1{\sqrt2}\right)^{4n+3}\sin\frac{(4n+3)\pi}4$이다.한편, $\displaystyle \sin(\pi+\theta)=-\sin\theta$이므로 $\displaystyle \sin\frac{(4n+1)\pi}4=-\sin\frac{(4n-3)\pi}4$이고, $\displaystyle \sin\frac{(4n+3)\pi}4=-\sin\frac{(4n-1)\pi}4$이 성립한다.따라서, $\displaystyle a_{n+1}=-\frac14a_n$임을 알 수 있다.첫째항은 $\displaystyle a_1=H(1)+H(3)=\frac1{\sqrt2}\sin\frac\pi4+\left(\frac1{\sqrt2}\right)^3\sin\frac{3\pi}4=\frac12+\frac14=\frac34$이고 공비가 $\displaystyle -\frac14$이므로 주어진 급수의 합은 $\displaystyle \frac{\frac34}{1+\frac14}=\frac35$이다.