자연계열 4번

(1) 동시에 출발하여 같은 속력으로 이동하는 성신이와 수정이가 거리 4 만큼 이동한 후 만난다면 만나는 점은$\displaystyle (4,0)$, $\displaystyle (3,1)$, $\displaystyle (2,2)$, $\displaystyle (1,3)$, $\displaystyle (0,4)$중 하나이다. 성신이와 수정이가 거리 4 만큼 이동하는 경우의 수는 각각 $\displaystyle 2^4$이므로 총 $\displaystyle 2^8$가지이고 이 중 두 사람이 만날 경우의 수는$\displaystyle {}_4\mathrm{C}_4\cdot{}_4\mathrm{C}_0+{}_4\mathrm{C}_3\cdot{}_4\mathrm{C}_1+{}_4\mathrm{C}_2\cdot{}_4\mathrm{C}_2+{}_4\mathrm{C}_1\cdot{}_4\mathrm{C}_3+{}_4\mathrm{C}_0\cdot{}_4\mathrm{C}_4=1+16+36+16+1=70$이므로 확률은$\displaystyle \frac{35}{128}$이다

(2) 성신이가 거리 3 만큼 이동한 후 멈춘 지점 P는 $\displaystyle (0,3)$, $\displaystyle (1,2)$, $\displaystyle (2,1)$, $\displaystyle (3,0)$중 하나이고 수정이가 거리 3 만큼 이동한 후 멈춘 지점 Q는 $\displaystyle (1,4)$, $\displaystyle (2,3)$, $\displaystyle (3,2)$, $\displaystyle (4,1)$중 하나이다. 가능한 P와 Q의 쌍은 16가지이고 P와 Q 사이의 거리는 2, 4, 6 중 하나이다. $\displaystyle X=6$인 경우는 $\displaystyle (0,3)-(4,1)$, $\displaystyle (3,0)-(1,4)$ 등 2가지이고 이 경우의 확률은 $\displaystyle {}_3\mathrm{C}_3\left(\frac12\right)^3\times{}_3\mathrm{C}_0\left(\frac12\right)^3+{}_3\mathrm{C}_0\left(\frac12\right)^3\times{}_3\mathrm{C}_3\left(\frac12\right)^3=\frac2{64}$이다. $\displaystyle X=4$인 경우는$\displaystyle (0,3)-(3,2)$, $\displaystyle (1,2)-(4,3)$, $\displaystyle (2,1)-(1,4)$, $\displaystyle (3,0)-(2,3)$ 등 4가지이고 이 경우의 확률은Correction. 점의 쌍 $\displaystyle (1,2)-(4,3)$에서 Q의 좌표 $\displaystyle (4,3)$은 $\displaystyle (4,1)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다. $\displaystyle {}_3\mathrm{C}_3\left(\frac12\right)^3\times{}_3\mathrm{C}_1\left(\frac12\right)^3+{}_3\mathrm{C}_2\left(\frac12\right)^3\times{}_3\mathrm{C}_0\left(\frac12\right)^3+{}_3\mathrm{C}_1\left(\frac12\right)^3\times{}_3\mathrm{C}_0\left(\frac12\right)^3+{}_3\mathrm{C}_0\left(\frac12\right)^3\times{}_3\mathrm{C}_1\left(\frac12\right)^3=\frac{12}{64}$이다.나머지 10가지 경우는 모두 거리가 2이고, 이때의 확률은 전체 확률의 합이 1이므로 $\displaystyle 1-\left(\frac2{64}+\frac{12}{64}\right)=\frac{50}{64}$이다. 따라서 확률변수 $\displaystyle X$의 확률분포표는 다음과 같다. $\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c}X&2&4&6&\text{합계}\\\hline\mathrm P(X=x)&\frac{50}{64}&\frac{12}{64}&\frac2{64}&1\end{array}$

(3) 기댓값(평균): $\displaystyle \mathrm E(X)=2\times\frac{50}{64}+4\times\frac{12}{64}+6\times\frac2{64}=\frac{160}{64}=\frac52$분산: $\displaystyle \mathrm V(X)=\left(2-\frac52\right)^2\times\frac{50}{64}+\left(4-\frac52\right)^2\times\frac{12}{64}+\left(6-\frac52\right)^2\times\frac2{64}=\frac{1\times50+9\times12+49\times2}{256}=1$표준편차: $\displaystyle \sigma(X)=\sqrt{\mathrm V(X)}=1$