자연계열 3번

(1) 점 $\displaystyle P_1$의 좌표는 $\displaystyle \left(\sin\frac\pi3,1-\cos\frac\pi3\right)=\left(\frac{\sqrt3}2,\frac12\right)$이고, 이 점에서 원의 접선의 기울기는 $\displaystyle \tan\frac\pi3=\sqrt3$이므로 접선의 방정식은 $\displaystyle y=\sqrt3x-1$이다. 같은 방법으로 점 $\displaystyle P_2$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=-\sqrt3x-1$이다. 이제 곡선의 방정식을 구하자. 이 곡선은 $\displaystyle y$축에 대칭인 두 점 $\displaystyle P_1,P_2$를 지나므로 $\displaystyle b=0$이다. 그리고 점 $\displaystyle P_1$에서의 기울기는 $\displaystyle 2a\left(\frac{\sqrt3}2\right)=\sqrt3$이므로 $\displaystyle a=1$이다. 마지막으로 이 곡선은 점 $\displaystyle P_1$을 지나므로 $\displaystyle \frac12=\left(\frac{\sqrt3}2\right)^2+c$로부터 $\displaystyle c=-\frac14$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)=x^2-\frac14$이다.

(2) 두 접선의 교점을 Q라 두면 구하는 영역의 넓이는 사각형 $\displaystyle AP_2QP_1$의 넓이에서 부채꼴 $\displaystyle AP_2P_1$의 넓이와 (1)에서 구한 곡선과 두 접선 사이의 넓이를 빼주면 된다. 사각형 $\displaystyle AP_2QP_1$의 넓이는 $\displaystyle \tan\frac\pi3=\sqrt3$이고 부채꼴의 넓이는 $\displaystyle \frac\pi3$, 그리고 곡선과 두 접선 사이의 넓이는 $\displaystyle 2\int_0^{\frac{\sqrt3}2}\left\{x^2-\frac14-(\sqrt3x-1)\right\}dx=\frac{\sqrt3}4$이므로 구하는 넓이는 $\displaystyle \frac{3\sqrt3}4-\frac\pi3$이다.

(3) 닮은 직각삼각형에 비례식을 적용하면 작은 원의 반지름은 $\displaystyle 1:\sec\theta=r_1:(\sec\theta-1-r_1)$으로부터 $\displaystyle r_1=\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$이다.큰 원의 반지름은 $\displaystyle r_1\sec\theta=r\sec\theta-r-r_1$으로부터 $\displaystyle r_2=\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}$이다.Correction. 큰 원에 대한 설명에 작은 원의 식이 반복되어 있다. 큰 원에 대한 비례식은 $\displaystyle 1:\sec\theta=r_2:(\sec\theta+1+r_2)$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}=\frac{(1+\cos\theta)^2}{(1-\cos\theta)^2}=4$로부터 $\displaystyle 3\cos^2\theta-10\cos\theta+3=(3\cos\theta-1)(\cos\theta-3)=0$이 성립하고 이로부터$\displaystyle \cos\theta=\frac13$이다.