자연계열 1번

(1) ① $\displaystyle f(x)$의 최고차항을 $\displaystyle px^n$이라고 하자. 그러면, $\displaystyle g(x)=\int_a^x(x^2-tx)(pt^n+\cdots)dt$이므로 $\displaystyle g(x)$의 최고차항을 보면 $\displaystyle \left(\frac p{n+1}-\frac p{n+2}\right)x^{n+3}$이 된다. 한편, $\displaystyle g(x)$의 최고차항은 문제에서 $\displaystyle x^4$이라고 했으므로 이 둘을 비교해보면 $\displaystyle n=1$이고 $\displaystyle p=6$이 되므로, $\displaystyle f(x)=6x-12$가 된다.② $\displaystyle f(x)=6x-12$를 $\displaystyle g(x)$의 식에 대입하면 $\displaystyle \begin{aligned}g(x)&=x\int_a^x(x-t)(6t-12)dt=x\int_a^x(-6t^2+12t+6xt-12x)dt\\&=x\Biggl[-2t^3+6t^2+3xt^2-12xt\Biggr]_a^x=x(-2x^3+2a^3)+x(6x^2-6a^2)+3x^2(x^2-a^2)-12x^2(x-a)\\&=x(x-a)(-2x^2-2ax-2a^2+6(x+a)+3x(x+a)-12x)\\&=x(x-a)(x^2+(a-6)x-2a^2+6a)=x(x-a)^2(x+2a-6)\end{aligned}$

(2) ① $\displaystyle g(x)=x(x-a)^2(x+2a-6)$이기 때문에 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle |g(x)|=g(x)$가 성립하려면 아래와 같은 그래프가 그려져야만 한다.

② 따라서, $\displaystyle 2a-6=0$ 즉, $\displaystyle a=3$이 되고, $\displaystyle g(x)=x^2(x-3)^2$이 된다.③ 그래프의 개형을 통해 구하고자 하는 넓이는 $\displaystyle \int_0^3x^2(x-3)^2dx$이다.④ 이를 계산하면 $\displaystyle \int_0^3x^2(x-3)^2dx=\int_0^3(x^4-6x^3+9x^2)dx=\Biggl[\frac{x^5}5-\frac{3x^4}2+3x^3\Biggr]_0^3=\frac{81}{10}$이 된다.

(3) ① $\displaystyle g(x)=x(x-a)^2(x+2a-6)$이므로 $\displaystyle g(x)=0$의 해는 $\displaystyle x=0,a,-2a+6$이다.② $\displaystyle y=|g(x)|$가 미분가능하지 않은 점이 0개, 1개인 경우로 나누어서 생각하자.③ $\displaystyle y=|g(x)|$가 미분가능하지 않은 점이 1개라면, 삼중근을 가져야 한다. 즉, $\displaystyle a=0$이거나 $\displaystyle a=-2a+6$을 만족해야한다. 따라서, $\displaystyle a=0$ 또는 $\displaystyle a=2$이다.④ 미분가능하지 않은 점이 0개이기 위해서는 <문제 1>(2)의 경우에 해당되므로 이 경우에는 $\displaystyle a=3$이 된다.