자연계열 3번

(1) ① 대칭성에 의해 $\displaystyle \frac12S_1$은 선분 $\displaystyle A_1B_1$을 지름으로 하는 반원 중 원 $\displaystyle O_1$의 바깥 부분과 선분 $\displaystyle A_1D_1$을 지름으로 하는 반원 중 원 $\displaystyle O_1$의 바깥 부분의 넓이의 합과 같다.② 따라서, $\displaystyle \frac12S_1$은 삼각형 $\displaystyle A_1B_1D_1$의 넓이와 지름이 $\displaystyle a_1$인 반원의 넓이와 지름이 $\displaystyle b_1$인 반원의 넓이를 더한 것에서 지름이 $\displaystyle \overline{B_1D_1}$인 반원의 넓이를 뺀 것이다.③ 즉, $\displaystyle \frac12S_1=\frac12a_1b_1+\frac12\left(\frac{a_1}2\right)^2\pi+\frac12\left(\frac{b_1}2\right)^2\pi-\frac12\left(\frac{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}2\right)^2\pi=\frac12a_1b_1$이 되어 $\displaystyle S_1=a_1b_1$이 된다.

(2) ① 원에 내접하는 직각삼각형의 성질을 이용하면 선분 $\displaystyle B_1D_1$의 길이가 원 $\displaystyle O_1$의 지름인 $\displaystyle 2r_1$이 된다. 따라서, $\displaystyle r_1=\frac{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}2$이 된다.② 한편, 사각형 $\displaystyle A_1B_1C_1D_1$에 내접하는 원 $\displaystyle O_2$의 반지름이 $\displaystyle r_2$이다. 원 $\displaystyle O_2$가 선분 $\displaystyle B_1C_1$, 선분 $\displaystyle C_1D_1$과 접하는 점을 각각 점 P, Q라고 한다면, 삼각형 $\displaystyle O_2B_1P$와 삼각형 $\displaystyle O_2QD_1$은 닮음이다.③ 그러므로 $\displaystyle \frac{\overline{PO_2}}{\overline{B_1P}}=\frac{\overline{QD_1}}{\overline{O_2Q}}$, 즉, $\displaystyle \frac{r_2}{a_1-r_2}=\frac{b_1-r_2}{r_2}$가 성립한다.④ 따라서, $\displaystyle r_2=\frac{a_1b_1}{a_1+b_1}$이 된다.

(3) ① $\displaystyle a_1=2$이고 $\displaystyle b_1=1$이므로 첫 번째 항은 $\displaystyle S_1=a_1b_1=2$가 된다.② 삼각형 $\displaystyle A_1B_1D_1$과 삼각형 $\displaystyle A_2B_2D_2$가 닮았고, 같은 이유로 삼각형 $\displaystyle B_1C_1D_1$과 삼각형 $\displaystyle B_1C_1D_1$이 닮았으므로, 수열 $\displaystyle \{S_n\}$은 등비수열이 됨을 알 수 있고, 공비는 $\displaystyle \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$이 된다.Correction. 두 번째 삼각형 이름은 $\displaystyle B_2C_2D_2$로 읽어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.③ 이 때, $\displaystyle r_1=\frac{\sqrt5}2$이고, $\displaystyle r_2=\frac{a_1b_1}{a_1+b_1}=\frac23$이므로 공비는 $\displaystyle \frac{16}{45}$가 되므로, $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n=\frac2{1-\frac{16}{45}}=\frac{90}{29}$가 된다.