자연계열 2번

(1) ① 점 $\displaystyle P_n$의 좌표는 $\displaystyle P_n(a_n,-a_n+n)$이고 점 $\displaystyle P_{n+1}$의 좌표는 $\displaystyle P_{n+1}(a_{n+1},-a_{n+1}+n+1)$이다.② 곡선 $\displaystyle y=2^x$는 증가함수이므로, $\displaystyle -a_n+n<-a_{n+1}+n+1$, 즉, $\displaystyle 0<a_{n+1}-a_n<1$이 성립한다.③ 한편, $\displaystyle 2^{a_n}=-a_n+n$이고, $\displaystyle 2^{a_{n+1}}=-a_{n+1}+n+1$이므로 $\displaystyle 2^{a_{n+1}}-2^{a_n}=1-(a_{n+1}-a_n)$이 되어,$\displaystyle 0<2^{a_{n+1}}-2^{a_n}<1$이 성립한다.④ 마지막으로, 선분 $\displaystyle P_nP_{n+1}$의 길이는 $\displaystyle \sqrt{(a_n-a_{n+1})^2+(2^{a_n}-2^{a_{n+1}})^2}$이므로 위의 두 부등식을 이용하면 선분 $\displaystyle P_nP_{n+1}$의 길이가 $\displaystyle \sqrt2$보다 작음을 보일 수 있다.

(2) ① $\displaystyle y=2^{-x}$와 $\displaystyle y=-x+n$의 교점의 $\displaystyle x$좌표인 $\displaystyle b_n$과 $\displaystyle y=-x+n$의 $\displaystyle x$절편인 $\displaystyle n$과 비교해보면 2이상의 자연수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle b_n<n$이 성립함을 확인할 수 있다.② $\displaystyle y=2^{-x}$와 $\displaystyle y=-x+n$의 교점의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle n-b_n$인데, 이것과 $\displaystyle y=2^{-x}$가 $\displaystyle y$축과 만나는 점인 $\displaystyle (0,1)$의 $\displaystyle y$좌표와 비교해보면 $\displaystyle n-b_n<1$, 즉, $\displaystyle n-1<b_n$임을 확인할 수 있다.③ 이를 종합해보면 $\displaystyle n-1<b_n<n$이 된다.

(3) ① 삼각형 $\displaystyle OC_nR_n$의 넓이 $\displaystyle S_n=\frac12\times\overline{OC_n}\times\overline{R_nC_n}=\frac12b_n\times2^{b_n}$이다.② 마찬가지로 삼각형 $\displaystyle OC_nQ_n$의 넓이 $\displaystyle T_n=\frac12\times\overline{OC_n}\times\overline{Q_nC_n}=\frac12b_n\times2^{-b_n}$이 된다.③ 따라서, $\displaystyle S_n\times T_n=\frac14b_n^2$이 되고④ 위의 <문제 2>(2)에서 $\displaystyle \frac{n-1}n<\frac{b_n}n<1$이 성립하므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{b_n}n=1$이 된다.⑤ 따라서, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{S_n\times T_n}{n^2}=\frac14$이다