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자연계열 4번

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성신여대 2023학년도 모의 자연계열 4번 · mathesis.kr/archive/sungshin/2023mo/jayeon_4

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배점25점
예상 소요 시간미공개

문제

그림과 같이 수정이와 성신이가 수직선 위의 좌표 0과 12에 처음 말을 놓고 주사위를 던지는 게임을 한다. 두 사람이 각자 주사위를 2번 던져 나온 수의 합만큼 화살표 방향으로 말을 이동시킨다고 한다. 예를 들어 수정이가 주사위를 2번 던졌을 때 나온 수의 합이 7이면 수정이는 말을 7칸 움직여 수직선 위의 좌표 7에 말을 놓고, 성신이가 주사위를 2번 던졌을 때 나온 수의 합이 3이면 12−3=9\displaystyle 12-3=9이므로 성신이는 말을 3칸 움직여 수직선 위의 좌표 9에 말을 놓는다. 다음 물음에 답하시오. [총25점]

대학 원문 그림

(1) [5점] 수정이가 주사위를 2번 던졌을 때 말이 놓이는 위치의 좌표를 X\displaystyle X라 할 때좌표 X\displaystyle X에 수정이의 말이 위치하게 되는 경우의 수를 각각 구한 후 아래의 표를 참고하여 표로 나타내시오. X234⋯경우의 수\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c}X&2&3&4&\cdots\\\hline\text{경우의 수}&&&&\end{array}

(2) [10점] 이동 규칙을 변경하여 아래의 규칙을 만족시키도록 말을 이동시킬 때, 수정이의 말이 놓이는 위치의 좌표를 Y\displaystyle Y라 하자. (단, 수정이의 말은 처음에 좌표 0에 위치한다.)

(가) 주사위를 2번 던졌을 때, 나온 눈의 수가 다르다면 나온 두 수의 합만큼 화살표 방향으로 말을 이동시킨다.(나) 주사위를 2번 던졌을 때, 나온 눈의 수가 같다면 주사위를 1번 더 던져 총 3번 던진 주사위에서 나온 눈의 수들의 합만큼 화살표 방향으로 말을 이동시킨다. (단, 세 수의 합이 12이상일 경우 말은 12칸만 이동한다.)

좌표 Y\displaystyle Y에 수정이의 말이 위치하게 되는 경우의 수를 각각 구한 후 아래의 표를 참고하여 표로 나타내시오.

YY334455⋯\cdots
경우의 수

(3) [10점] (2)의 규칙에 따라 게임을 진행하여 수정이와 성신이의 말이 같은 좌표에 놓였을 때의 좌표를 Z\displaystyle Z라 하자. 수정이와 성신이의 말이 좌표 Z\displaystyle Z에 같이 위치하게 되는 경우의 수를 각각 구한 후 아래의 표를 참고하여 표로 나타내시오.(단, 수정이의 말은 처음에 좌표 0에 위치하고 성신이의 말은 처음에 좌표 12에 위치한다.) Z345⋯경우의 수\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c}Z&3&4&5&\cdots\\\hline\text{경우의 수}&&&&\end{array}

해설강의 준비중

성신여대 2023학년도 모의 자연계열 4번 · mathesis.kr/archive/sungshin/2023mo/jayeon_4

+5점 · (1) 아래에 제시된 단계에 따라 1등급~7등급으로 채점한다.

(1) ① 주사위를 1번 던졌을 때 나올 수 있는 수는 1, 2, 3, 4, 5, 6 중 하나이다.② 따라서 주사위를 2번 던졌을 때 말이 놓이는 위치의 좌표 X\displaystyle X는 2에서 12 사이의 값을 가지게 된다.③ 주사위를 두 번 던졌을 때 나오는 합의 조합은 아래의 표와 같다. (가로와 세로가 만나는 칸은 두수의 합) 123456123456723456783456789456789105678910116789101112\displaystyle \begin{array}{c|cccccc}&1&2&3&4&5&6\\\hline1&2&3&4&5&6&7\\2&3&4&5&6&7&8\\3&4&5&6&7&8&9\\4&5&6&7&8&9&10\\5&6&7&8&9&10&11\\6&7&8&9&10&11&12\end{array}

④ 따라서, X23456789101112경우의 수12345654321\displaystyle \begin{array}{c|ccccccccccc}X&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\hline\text{경우의 수}&1&2&3&4&5&6&5&4&3&2&1\end{array}

+10점 · (2) 아래에 제시된 단계에 따라 1등급~7등급으로 채점한다.

(2) ① 2번 모두 같은 수가 나왔을 경우에 주사위를 추가로 던지게 되므로 (1)에서 X\displaystyle X가 2, 4, 6, 8, 10의 짝수인 경우에 해당 사건이 발생할 수 있다.② 짝수 X\displaystyle X가 같은 수의 합으로 나온 경우 다시 던져 이동하므로 X=2=1+1\displaystyle X=2=1+1에서 이동, X=4=2+2\displaystyle X=4=2+2, …에서 이동하게 된다. 따라서, X\displaystyle X가 짝수인 각 경우의 수에서 다시 던지게 된 하나씩의 경우의 수를 빼야 한다.③ 다시 주사위를 던지게 되면 이동 거리에 1 ~ 6의 수가 더해질 수 있고, 전체 합이 12를 넘으면 12칸만 이동하므로, 수정이의 말이 놓이는 위치의 좌표 Y\displaystyle Y에 대한 경우의 수는 아래의 표와 같이 구할 수 있다. Y23456789101112다시 던지게된 경우를제외한경우의 수0(=1−1)22(=3−1)44(=5−1)64(=5−1)42(=3−1)20(=1−1)합이 2일 때다시 던짐111111합이 4일 때다시 던짐111111합이 6일 때다시 던짐111111합이 8일 때다시 던짐1113합이 10일때 다시 던짐15합이 12일때 다시 던짐6\displaystyle \begin{array}{c|ccccccccccc}Y&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\hline\substack{\text{다시 던지게}\\\text{된 경우를}\\\text{제외한}\\\text{경우의 수}}&\substack{0\\(=1-1)}&2&\substack{2\\(=3-1)}&4&\substack{4\\(=5-1)}&6&\substack{4\\(=5-1)}&4&\substack{2\\(=3-1)}&2&\substack{0\\(=1-1)}\\\substack{\text{합이 2일 때}\\\text{다시 던짐}}&&1&1&1&1&1&1&&&&\\\substack{\text{합이 4일 때}\\\text{다시 던짐}}&&&&1&1&1&1&1&1&&\\\substack{\text{합이 6일 때}\\\text{다시 던짐}}&&&&&&1&1&1&1&1&1\\\substack{\text{합이 8일 때}\\\text{다시 던짐}}&&&&&&&&1&1&1&3\\\substack{\text{합이 10일}\\\text{때 다시 던짐}}&&&&&&&&&&1&5\\\substack{\text{합이 12일}\\\text{때 다시 던짐}}&&&&&&&&&&&6\end{array}

④ 각 열의 합이 각각의 좌표에 수정이의 말이 놓일 수 있는 좌표 Y\displaystyle Y에 대한 경우의 수이므로 아래와 같이 구할 수 있다. Y23456789101112경우의 수033669775515\displaystyle \begin{array}{c|ccccccccccc}Y&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\hline\text{경우의 수}&0&3&3&6&6&9&7&7&5&5&15\end{array}

+10점 · (3) 아래에 제시된 단계에 따라 1등급~7등급으로 채점한다.

(3) ① 성신이의 말이 놓일 수 있는 좌표를 Y′\displaystyle Y^{\prime}라고 할 때, 성신이의 말은 12에서 나온 수의 합을 뺀 좌표에 위치하므로 성신이가 던졌을 때 나올 수 있는 Y\displaystyle Y에 대하여 Y′=12−Y\displaystyle Y^{\prime}=12-Y가 된다.② 따라서 (2)에서 구한 Y\displaystyle Y의 경우의 수 표를 활용하여 Y′23456789101112경우의 수157796633000\displaystyle \begin{array}{c|ccccccccccc}Y^{\prime}&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\hline\text{경우의 수}&15&7&7&9&6&6&3&3&0&0&0\end{array}Correction. Y′=2\displaystyle Y^{\prime}=2일 때의 경우의 수 15는 Y=10\displaystyle Y=10의 경우의 수인 5의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

③ 수정이와 성신이의 말은 개별적으로 이동한다. 따라서 Y=Y′\displaystyle Y=Y^{\prime}인 각각의 Z\displaystyle Z에 대한 경우의 수는 Y=Y′\displaystyle Y=Y^{\prime}인 Y,Y′\displaystyle Y,Y^{\prime}쌍의 경우의 수의 곱으로 구할 수 있다.

④ 따라서, Z2345678910경우의 수0212154365421210\displaystyle \begin{array}{c|ccccccccc}Z&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\\hline\text{경우의 수}&0&21&21&54&36&54&21&21&0\end{array}

소문항등급채점 기준
(1)1등급전 과정이 모두 맞거나, 일부 생략이 있으나 전체 오류도 없고 답도 맞은
(1)2등급④단계까지 옳게 접근했으나 답이 틀린 경우
(1)3등급③단계까지 옳게 서술한 경우
(1)4등급②단계까지 옳게 서술한 경우
(1)5등급①단계를 옳게 서술한 경우
(1)6등급문제를 푸는 과정이 전혀 틀린 경우
(1)7등급백지 답안
(2)1등급전 과정이 모두 맞거나, 일부 생략이 있으나 전체 오류도 없고 답도 맞은
(2)2등급④단계까지 옳게 접근했으나 답이 틀린 경우
(2)3등급③단계까지 옳게 서술한 경우
(2)4등급②단계까지 옳게 서술한 경우
(2)5등급①단계를 옳게 서술한 경우
(2)6등급문제를 푸는 과정이 전혀 틀린 경우
(2)7등급백지 답안
(3)1등급전 과정이 모두 맞거나, 일부 생략이 있으나 전체 오류도 없고 답도 맞은
(3)2등급④단계까지 옳게 접근했으나 답이 틀린 경우
(3)3등급③단계까지 옳게 서술한 경우
(3)4등급②단계까지 옳게 서술한 경우
(3)5등급①단계를 옳게 서술한 경우
(3)6등급문제를 푸는 과정이 전혀 틀린 경우
(3)7등급백지 답안

* 각 문제에 대하여 아래에 제시된 예시답안과 같이 단계에 따라 1등급~7등급으로 채점한다.이후 등급을 해당 문제의 점수로 환산하여 총점을 계산한다.

* 도출 과정이 옳으나 계산 결과가 정확히 일치하지 않으면 1등급을 감점한다.

* 답안을 서술하면서 식만 나열하고, 논리적인 설명이 없으면 1등급을 감점한다.

* 백지답안은 7등급을 부여한다.

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