자연계열 1번

(1) 최고차항의 계수가 1인 다항함수 $\displaystyle g(x)$의 최고차항을 $\displaystyle x^n$이라고 하면 $\displaystyle f(x)=x\int_0^x g(t)\,dt$로부터 $\displaystyle f(x)$의 최고차항은 $\displaystyle x\cdot\frac1{n+1}x^{n+1}=\frac1{n+1}x^{n+2}$이고, 이것이 사차항이 되려면 $\displaystyle n=2$이다. 따라서 $\displaystyle g(x)=x^2+ax$ 꼴이다. ($\displaystyle a$는 상수)그리고 주어진 식에 의해 $\displaystyle f(x)=x\int_0^x g(t)\,dt=x\Biggl[\frac13t^3+\frac a2t^2\Biggr]_0^x=\frac16x^3(2x+3a)$인데,주어진 조건 $\displaystyle f(3)=0$으로부터 $\displaystyle a=-2$이다. 따라서 $\displaystyle g(x)=x^2-2x$이고, $\displaystyle f(x)=\frac13x^4-x^3$이다.

(2) $\displaystyle f(x)=\frac13x^4-x^3$이므로, $\displaystyle f(0)=0$, $\displaystyle f(3)=0$이다.따라서 구간 $\displaystyle [0,3]$에서의 $\displaystyle f(x)$의 평균변화율은 $\displaystyle \frac{f(3)-f(0)}{3-0}=\frac{0-0}3=0$이고,$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac43x^3-3x^2=\frac13x^2(4x-9)$이다.이때 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$은 구간 $\displaystyle (0,3)$에서 $\displaystyle x=\frac94$일 때만 성립한다. 따라서 $\displaystyle b=\frac94$이다.

(3) $\displaystyle f(x)=\frac13x^4-x^3$으로부터 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=4x^2-6x=2x(2x-3)$이므로 $\displaystyle 0\le x\le\frac32$에서는 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)\le0$이고,$\displaystyle x<0$ 또는 $\displaystyle x>\frac32$이면 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)>0$이다.따라서 $\displaystyle \lvert f^{\prime\prime}(x)\rvert-f^{\prime\prime}(x)=\begin{cases}-2f^{\prime\prime}(x),&0\le x\le\frac32\\0,&x<0\text{ 또는 }x>\frac32\end{cases}$그러므로$\displaystyle \int_0^3(\lvert f^{\prime\prime}(x)\rvert-f^{\prime\prime}(x))\,dx=-2\int_0^{\frac32}f^{\prime\prime}(x)\,dx=-2\Biggl[f^{\prime}(x)\Biggr]_0^{\frac32}=-2\Biggl[\frac13x^2(4x-9)\Biggr]_0^{\frac32}=\frac92$이다.