자연계열 3번

(1) 선분 $\displaystyle P_2Q$의 중점을 M이라 할 때, 이등변삼각형 $\displaystyle P_2O_2Q$에서 중선 $\displaystyle \overline{O_2M}$의 길이는 $\displaystyle \overline{O_2M}=\overline{O_1O_2}\sin\theta=2\sin\theta$이다.

그러므로 $\displaystyle \sin\theta=\frac1{\sqrt5}$이면 $\displaystyle \overline{O_2M}=2\sin\theta=\frac2{\sqrt5}$이다.따라서 $\displaystyle \overline{MQ}=\sqrt{\overline{O_2Q}^2-\overline{O_2M}^2}=\sqrt{1-\frac45}=\frac1{\sqrt5}$이므로,삼각형 $\displaystyle P_2O_2Q$의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times2\times\overline{MQ}\times\overline{O_2M}=\frac1{\sqrt5}\times\frac2{\sqrt5}=\frac25$이다.

(2) 직각삼각형 $\displaystyle O_1O_2M$에서 $\displaystyle \overline{O_2M}=\overline{O_1O_2}\sin\theta=2\sin\theta$이고, $\displaystyle \overline{O_1M}=\overline{O_1O_2}\cos\theta=2\cos\theta$이다.그리고 $\displaystyle \overline{P_2M}=\sqrt{\overline{O_2P_2}^2-\overline{O_2M}^2}=\sqrt{1-4\sin^2\theta}$이다.따라서 $\displaystyle \ell(\theta)=\overline{P_1P_2}=\overline{O_1M}-\overline{P_2M}-\overline{O_1P_1}=2\cos\theta-\sqrt{1-4\sin^2\theta}-1$이다. $\displaystyle \frac{\ell(\theta)}{\theta^2}$를 정리해보면$\displaystyle \frac{2\cos\theta-1-\sqrt{1-4\sin^2\theta}}{\theta^2}=\frac{2(\cos\theta-1)}{\theta^2}+\frac{1-\sqrt{1-4\sin^2\theta}}{\theta^2}=\frac{2(\cos\theta-1)}{\theta^2}+\frac{4\sin^2\theta}{\theta^2(1+\sqrt{1-4\sin^2\theta})}$이 되고, $\displaystyle \lim_{\theta\to0+}\frac{2(\cos\theta-1)}{\theta^2}=\lim_{\theta\to0+}\frac{2(\cos\theta-1)(\cos\theta+1)}{\theta^2(\cos\theta+1)}=\lim_{\theta\to0+}\frac{-2\sin^2\theta}{\theta^2(\cos\theta+1)}=-1$이므로,$\displaystyle \lim_{\theta\to0+}\frac{\ell(\theta)}{\theta^2}=-1+2=1$이 된다.

(3) 점 A에서 선분 $\displaystyle O_1Q$에 내린 수선의 발을 N이라 할 때, 직각삼각형 $\displaystyle O_1AN$에서 $\displaystyle \overline{AN}=\overline{O_1A}\sin\theta=\sin\theta$이므로,

삼각형 $\displaystyle O_1AP_1$의 넓이는 $\displaystyle f(\theta)=\frac12\times\overline{O_1P_1}\times\overline{AN}=\frac12\sin\theta$이다.삼각형 $\displaystyle O_1O_2Q$의 넓이는 $\displaystyle g(\theta)=\frac12\overline{O_1Q}\times\overline{O_2M}$인데,$\displaystyle \overline{O_1Q}=\overline{O_1M}+\overline{MQ}=2\cos\theta+\sqrt{\overline{O_2Q}^2-\overline{O_2M}^2}=2\cos\theta+\sqrt{1-4\sin^2\theta}$이므로$\displaystyle g(\theta)=(2\cos\theta+\sqrt{1-4\sin^2\theta})\sin\theta$이다.삼각형 $\displaystyle P_2O_2Q$의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times\overline{P_2Q}\times\overline{O_2M}=\overline{MQ}\times\overline{O_2M}=\sqrt{1-4\sin^2\theta}\times2\sin\theta$이고,사각형 $\displaystyle AO_2P_2P_1$의 넓이는$\displaystyle h(\theta)$ = (삼각형 $\displaystyle O_1O_2Q$의 넓이) − (삼각형 $\displaystyle P_2O_2Q$의 넓이) − (삼각형 $\displaystyle O_1AP_1$의 넓이)이므로$\displaystyle h(\theta)=g(\theta)-\sqrt{1-4\sin^2\theta}\times2\sin\theta-f(\theta)$이다.따라서 $\displaystyle \begin{aligned}\lim_{\theta\to0+}\frac{f(\theta)+g(\theta)+h(\theta)}\theta&=\lim_{\theta\to0+}\frac{2g(\theta)-2\sin\theta\sqrt{1-4\sin^2\theta}}\theta=\lim_{\theta\to0+}\frac{4\sin\theta\cos\theta}\theta\\&=\lim_{\theta\to0+}\left(4\times\frac{\sin\theta}\theta\times\cos\theta\right)=4\times1\times1=4\end{aligned}$이다.