자연계열 2번

(1) 치환적분을 통해 $\displaystyle a_n=\sqrt2e^{\frac\pi4}\int_{\frac\pi4}^{n\pi+\frac\pi4}e^{-x}\sin x\,dx=\sqrt2e^{\frac\pi4}\int_0^{n\pi}e^{-\left(x+\frac\pi4\right)}\sin\left(x+\frac\pi4\right)\,dx$로 나타낼 수 있다.$\displaystyle \sin\left(x+\frac\pi4\right)=\frac1{\sqrt2}(\sin x+\cos x)$임을 이용하면$\displaystyle a_n=\sqrt2e^{\frac\pi4}\int_{\frac\pi4}^{n\pi+\frac\pi4}e^{-x}\sin x\,dx=\sqrt2e^{\frac\pi4}\int_0^{n\pi}e^{-\left(x+\frac\pi4\right)}\sin\left(x+\frac\pi4\right)\,dx=\int_0^{n\pi}e^{-x}(\sin x+\cos x)\,dx$이 성립하므로 $\displaystyle A=1,B=1$임을 알 수 있다.

(2) 부분적분을 통해 $\displaystyle \int e^{-x}\sin x\,dx=-e^{-x}\sin x+\int e^{-x}\cos x\,dx$가 됨을 알 수 있고,비슷하게 $\displaystyle \int e^{-x}\cos x\,dx=-e^{-x}\cos x-\int e^{-x}\sin x\,dx$가 된다. 따라서$\displaystyle \int e^{-x}\sin x\,dx=-\frac12e^{-x}(\sin x+\cos x)+C_1$이고, $\displaystyle \int e^{-x}\cos x\,dx=-\frac12e^{-x}(\cos x-\sin x)+C_2$이므로$\displaystyle \int e^{-x}(\sin x+\cos x)\,dx=-e^{-x}\cos x+C_3$가 된다. 또는 부분적분을 이용하여$\displaystyle \begin{aligned}\int e^{-x}(\sin x+\cos x)\,dx&=\int e^{-x}\sin x\,dx+\int e^{-x}\cos x\,dx=\int e^{-x}(-\cos x)^{\prime}\,dx+\int e^{-x}\cos x\,dx\\&=-e^{-x}\cos x-\int e^{-x}\cos x\,dx+\int e^{-x}\cos x\,dx=-e^{-x}\cos x+C_4\end{aligned}$임을 알 수 있다. (단, $\displaystyle C_1,C_2,C_3,C_4$는 적분상수)그러므로 $\displaystyle a_n=\int_0^{n\pi}e^{-x}(\sin x+\cos x)\,dx=\Biggl[-e^{-x}\cos x\Biggr]_0^{n\pi}=1-(-1)^ne^{-n\pi}=1-(-e^{-\pi})^n$이고,$\displaystyle \lvert-e^{-\pi}\rvert<1$이므로, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}(1-(-e^{-\pi})^n)=1$이다.

(3) $\displaystyle a_n=1-(-e^{-\pi})^n$이므로$\displaystyle a_{n+1}=1-(-e^{-\pi})^{n+1}=1-(-e^{-\pi})(-e^{-\pi})^n=1+e^{-\pi}(-e^{-\pi})^n$이다.$\displaystyle a_n-a_{n+1}=-(-e^{-\pi})^n-e^{-\pi}(-e^{-\pi})^n=-(1+e^{-\pi})(-e^{-\pi})^n$이 되어$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty(a_n-a_{n+1})=-(1+e^{-\pi})\sum_{n=1}^\infty(-e^{-\pi})^n$이고 $\displaystyle \lvert-e^{-\pi}\rvert<1$이므로급수의 합을 계산하여 $\displaystyle -(1+e^{-\pi})\sum_{n=1}^\infty(-e^{-\pi})^n=-(1+e^{-\pi})\frac{-e^{-\pi}}{1+e^{-\pi}}=e^{-\pi}$가 됨을 알 수 있다.