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자연계열 2번

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성신여대 2023학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/sungshin/2023su/jayeon_2

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문제

모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an=2eπ4∫π4nπ+π4e−xsin⁡x dx\displaystyle a_n=\sqrt2e^{\frac\pi4}\int_{\frac\pi4}^{n\pi+\frac\pi4}e^{-x}\sin x\,dx로 정의된 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}에 대하여 다음 질문에 답하시오. [총 25점]

(1) an=∫0nπe−x(Asin⁡x+Bcos⁡x) dx\displaystyle a_n=\int_0^{n\pi}e^{-x}(A\sin x+B\cos x)\,dx를 만족시키는 상수 A,B\displaystyle A,B를 구하시오. [7점]

(2) lim⁡n→∞an\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n의 값을 구하시오. [10점]

(3) ∑n=1∞(an−an+1)\displaystyle \sum_{n=1}^\infty(a_n-a_{n+1})의 값을 구하시오. [8점]

해설강의 준비중

성신여대 2023학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/sungshin/2023su/jayeon_2

+7점 · (1) 대학 평가 기준의 단계별 채점표에 따른다.

(1) 치환적분을 통해 an=2eπ4∫π4n+π4e−xsin⁡x dx=2eπ4∫0nπe−(x+π4)sin⁡(x+π4) dx\displaystyle a_n=\sqrt2e^{\frac\pi4}\int_{\frac\pi4}^{n+\frac\pi4}e^{-x}\sin x\,dx=\sqrt2e^{\frac\pi4}\int_0^{n\pi}e^{-\left(x+\frac\pi4\right)}\sin\left(x+\frac\pi4\right)\,dx로 나타낼 수 있다.Correction. (1)에서 두 번 나오는 치환 전 적분의 상한 n+π4\displaystyle n+\frac\pi4는 nπ+π4\displaystyle n\pi+\frac\pi4의 오기이다. 문제에서 정의한 수열의 적분 상한은 nπ+π4\displaystyle n\pi+\frac\pi4이며, 변수를 π4\displaystyle \frac\pi4만큼 옮기면 상한은 nπ\displaystyle n\pi가 된다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.sin⁡(x+π4)=12(sin⁡x+cos⁡x)\displaystyle \sin\left(x+\frac\pi4\right)=\frac1{\sqrt2}(\sin x+\cos x)임을 이용하면an=2eπ4∫π4n+π4e−xsin⁡x dx=2eπ4∫0nπe−(x+π4)sin⁡(x+π4) dx=∫0nπe−x(sin⁡x+cos⁡x) dx\displaystyle a_n=\sqrt2e^{\frac\pi4}\int_{\frac\pi4}^{n+\frac\pi4}e^{-x}\sin x\,dx=\sqrt2e^{\frac\pi4}\int_0^{n\pi}e^{-\left(x+\frac\pi4\right)}\sin\left(x+\frac\pi4\right)\,dx=\int_0^{n\pi}e^{-x}(\sin x+\cos x)\,dx이 성립하므로 A=1,B=1\displaystyle A=1,B=1임을 알 수 있다.

+10점 · (2) 대학 평가 기준의 단계별 채점표에 따른다.

(2) 부분적분을 통해 ∫e−xsin⁡x dx=−e−xsin⁡x+∫e−xcos⁡x dx\displaystyle \int e^{-x}\sin x\,dx=-e^{-x}\sin x+\int e^{-x}\cos x\,dx가 됨을 알 수 있고,비슷하게 ∫e−xcos⁡x dx=−e−xcos⁡x−∫e−xsin⁡x dx\displaystyle \int e^{-x}\cos x\,dx=-e^{-x}\cos x-\int e^{-x}\sin x\,dx가 된다. 따라서∫e−xsin⁡x dx=−12e−x(sin⁡x+cos⁡x)+C1\displaystyle \int e^{-x}\sin x\,dx=-\frac12e^{-x}(\sin x+\cos x)+C_1이고, ∫e−xcos⁡x dx=−12e−x(cos⁡x−sin⁡x)+C2\displaystyle \int e^{-x}\cos x\,dx=-\frac12e^{-x}(\cos x-\sin x)+C_2이므로∫e−x(sin⁡x+cos⁡x) dx=−e−xcos⁡x+C3\displaystyle \int e^{-x}(\sin x+\cos x)\,dx=-e^{-x}\cos x+C_3가 된다. 또는 부분적분을 이용하여∫e−x(sin⁡x+cos⁡x) dx=∫e−xsin⁡x dx+∫e−xcos⁡x dx=∫e−x(−cos⁡x)′ dx+∫e−xcos⁡x dx=−e−xcos⁡x−∫e−xcos⁡x dx+∫e−xcos⁡x dx=−e−xcos⁡x+C4\displaystyle \begin{aligned}\int e^{-x}(\sin x+\cos x)\,dx&=\int e^{-x}\sin x\,dx+\int e^{-x}\cos x\,dx=\int e^{-x}(-\cos x)^{\prime}\,dx+\int e^{-x}\cos x\,dx\\&=-e^{-x}\cos x-\int e^{-x}\cos x\,dx+\int e^{-x}\cos x\,dx=-e^{-x}\cos x+C_4\end{aligned}임을 알 수 있다. (단, C1,C2,C3,C4\displaystyle C_1,C_2,C_3,C_4는 적분상수)그러므로 an=∫0nπe−x(sin⁡x+cos⁡x) dx=[−e−xcos⁡x]0nπ=1−(−1)ne−nπ=1−(−e−π)n\displaystyle a_n=\int_0^{n\pi}e^{-x}(\sin x+\cos x)\,dx=\Biggl[-e^{-x}\cos x\Biggr]_0^{n\pi}=1-(-1)^ne^{-n\pi}=1-(-e^{-\pi})^n이고,∣−e−π∣<1\displaystyle \lvert-e^{-\pi}\rvert<1이므로, lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞(1−(−e−π)n)=1\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}(1-(-e^{-\pi})^n)=1이다.

+8점 · (3) 대학 평가 기준의 단계별 채점표에 따른다.

(3) an=1−(−e−π)n\displaystyle a_n=1-(-e^{-\pi})^n이므로an+1=1−(−e−π)n+1=1−(−e−π)(−e−π)n=1+e−π(−e−π)n\displaystyle a_{n+1}=1-(-e^{-\pi})^{n+1}=1-(-e^{-\pi})(-e^{-\pi})^n=1+e^{-\pi}(-e^{-\pi})^n이다.an−an+1=−(−e−π)n−e−π(−e−π)n=−(1+e−π)(−e−π)n\displaystyle a_n-a_{n+1}=-(-e^{-\pi})^n-e^{-\pi}(-e^{-\pi})^n=-(1+e^{-\pi})(-e^{-\pi})^n이 되어∑n=1∞(an−an+1)=−(1+e−π)∑n=1∞(−e−π)n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty(a_n-a_{n+1})=-(1+e^{-\pi})\sum_{n=1}^\infty(-e^{-\pi})^n이고 ∣−e−π∣<1\displaystyle \lvert-e^{-\pi}\rvert<1이므로급수의 합을 계산하여 −(1+e−π)∑n=1∞(−e−π)n=−(1+e−π)−e−π1+e−π=e−π\displaystyle -(1+e^{-\pi})\sum_{n=1}^\infty(-e^{-\pi})^n=-(1+e^{-\pi})\frac{-e^{-\pi}}{1+e^{-\pi}}=e^{-\pi}가 됨을 알 수 있다.

소문항등급채점 기준
(1)1등급전 과정이 모두 맞거나, 일부 생략이 있으나 전체 오류가 없고 답도 맞음
(1)2등급②단계에서 A\displaystyle A 혹은 B\displaystyle B 둘 중 하나만 맞은 경우
(1)3등급②단계에서 답을 찾으려고 시도했으나 A\displaystyle A와 B\displaystyle B 둘 다 틀린 경우
(1)4등급①단계만 맞은 경우
(1)5등급①단계에서 잘못된 치환적분을 사용한 경우
(1)6등급문제를 푸는 과정이 전혀 틀린 경우
(1)7등급백지 답안
(2)1등급전 과정이 모두 맞거나, 일부 생략이 있으나 전체 오류가 없고 답도 맞음
(2)2등급답은 맞았지만 ④단계를 언급하지 않은 경우
(2)3등급③단계까지는 맞았으나 ⑤단계에서 틀린 경우
(2)4등급②단계까지는 맞았으나 ③단계에서 틀린 경우
(2)5등급①단계까지 맞은 경우
(2)6등급문제를 푸는 과정이 전혀 틀린 경우
(2)7등급백지 답안
(3)1등급전 과정이 모두 맞거나, 일부 생략이 있으나 전체 오류가 없고 답도 맞음
(3)2등급답은 맞았으나 ④단계를 언급하지 않은 경우
(3)3등급③단계까지는 맞았으나 ⑤단계에서 계산 실수가 있는 경우
(3)4등급②단계까지 맞은 경우
(3)5등급①단계만 맞은 경우
(3)6등급문제를 푸는 과정이 전혀 틀린 경우
(3)7등급백지 답안

※ 하위 문항이 있는 경우 칸을 나누어 채점 기준을 작성함.

※ 채점 기준은 문항의 출제의도에 대한 평가를 위한 것이어야 함.

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