자연계열 4번

(1) 다섯 자리 비밀번호를 만들 때, 세 번 이상 들어있는 숫자는 하나만 선택할 수 있다. 따라서 0이 세 번 이상, 또는 1이 세 번 이상, ..., 또는 9가 세 번 이상으로 10가지 숫자 중 하나를 선택하는 것이 가능하다. 한 숫자가 $\displaystyle n$번만 들어있는 경우의 수는 하나의 숫자를 선택한 후, 다섯 자리에서 $\displaystyle n$개를 골라 이 숫자로 채우고, 나머지 $\displaystyle 5-n$개의 자리에 앞에서 선택하지 않은 숫자 중 하나를 각각 선택하는 수이므로 $\displaystyle 10\times{}_{5}\mathrm{C}_{n}\times9^{5-n}$이다.한 숫자가 세 번만 들어있는 경우는 $\displaystyle 10\times{}_{5}\mathrm{C}_{3}\times9^2=10\times10\times81=8100$가지, 한 숫자가 네 번만 들어있는 경우는 $\displaystyle 10\times{}_{5}\mathrm{C}_{4}\times9=10\times5\times9=450$가지, 한 숫자가 다섯 번 들어있는 경우는 10가지이다. 따라서 같은 숫자가 세 번 이상 들어있는 모든 다섯 자리 비밀번호의 가짓수는 $\displaystyle 8100+450+10=8560$개다.

(2) 다섯 자리의 비밀번호에서 숫자 $\displaystyle a$가 세 번 이상 연속하여 나타나는 것은 $\displaystyle aaa\square\square$, $\displaystyle \square aaa\square$, $\displaystyle \square\square aaa$의 꼴로 배열되는 경우이다.① $\displaystyle aaa\square\square$에서 $\displaystyle 10\times10=100$가지 경우가 가능하다.② $\displaystyle \square aaa\square$에서 앞과 마찬가지로 100가지 경우가 가능하지만 $\displaystyle aaa\square\square$와 중복되는 경우는 제외하고 전체 가짓수를 세어야 한다. $\displaystyle aaaa\square$는 $\displaystyle aaa\square\square$와 중복되는 경우를 나타내고 10가지의 경우의 수가 있다.따라서 $\displaystyle 100-10=90$가지의 경우가 추가된다.③ $\displaystyle \square\square aaa$에서 앞과 마찬가지로 100가지 경우가 가능하지만 $\displaystyle aaa\square\square$, $\displaystyle \square aaa\square$와 중복되는 경우는 제외하고 전체 가짓수를 세어야 한다. $\displaystyle aaaaa$는 $\displaystyle aaa\square\square$와 중복되는 하나의 경우다. $\displaystyle \square aaaa$는 $\displaystyle \square aaa\square$와 중복되는 경우를 나타내고 $\displaystyle 10\times10=100$가지의 경우의 수가 있으며 앞의 $\displaystyle aaaaa$의 경우를 포함한다. 따라서 $\displaystyle 100-10=90$가지의 경우가 추가된다. 숫자 $\displaystyle a$를 선택하는 경우의 수는 10가지이므로 임의의 같은 숫자가 세 번 이상 연속하여 나타나는 모든 다섯 자리 비밀번호의 가짓수는 $\displaystyle 10\times(100+90+90)=2800$가지이다.Correction. 중복되는 경우의 수 $\displaystyle 10\times10=100$은 $\displaystyle 10\times1=10$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(3) 주어진 보안정책에 따라 수정이가 비밀번호를 정할 때 가능한 비밀번호의 길이는 다섯 자리(같은 숫자가 세 번 이상 연속해서 나타나지 않는 비밀번호)와 일곱 자리(앞 다섯 자리에 같은 숫자가 세 번 이상 연속해서 나타나는 비밀번호)이다. 아무 숫자나 사용할 수 있는 모든 다섯 자리 비밀번호의 가짓수는 $\displaystyle 10^5=100000$이고, 여기에서 같은 숫자가 세 번 이상 연속해서 나타나는 비밀번호는 허용되지 않으므로 (2)에서 구한 2800개를 제외하여 허용된 다섯 자리의 비밀번호의 가짓수 $\displaystyle 100000-2800=97200$가지를 구할 수 있다. 일곱 자리의 비밀번호는 같은 숫자가 세 번 이상 연속해서 나타나는 다섯 자리의 비밀번호의 뒤쪽에 두 자리가 더해졌으므로 가능한 가짓수는 $\displaystyle 2800\times10^2=280000$가지로 구할 수 있다. 따라서 모든 가능한 비밀번호의 가짓수는 $\displaystyle 97200+280000=377200$가지이다.