자연계열 1번

(1) ① $\displaystyle f(t)=e^{1+t}-2t$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(t)=e^{1+t}-2$이다.② $\displaystyle t=-1+\ln2$에서 $\displaystyle f^{\prime}(t)=0$이며 $\displaystyle t<-1+\ln2$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(t)<0$이고, $\displaystyle t>-1+\ln2$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(t)>0$이다.③ 따라서 $\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle t=-1+\ln2$에서 최솟값 $\displaystyle f(-1+\ln2)=2-2(-1+\ln2)=4-2\ln2>0$을 가진다.④ 따라서 모든 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle f(t)>0$이다.

(2) ① 주어진 곡선이 $\displaystyle y$축과 만나는 점의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle \ln(e-1+y^2)=1+y$로부터 $\displaystyle e-1+y^2=e^{1+y}$, 즉 방정식 $\displaystyle e^{1+y}-e+1-y^2=0$의 근이다.② 이때 $\displaystyle g(y)=e^{1+y}-e+1-y^2$로 두면 함수 $\displaystyle g(y)$는 $\displaystyle y$에 대하여 실수 전체에서 연속이며 미분가능한 함수이다.③ $\displaystyle g(-1)=1-e<0$이고, $\displaystyle g(0)=1>0$이므로 사잇값 정리에 의하여 $\displaystyle -1<k<0$이며 $\displaystyle g(k)=0$을 만족하는 실수 $\displaystyle k$가 존재한다.④ (1)의 결과로부터 모든 실수 $\displaystyle y$에 대하여 $\displaystyle g^{\prime}(y)=f(y)=e^{1+y}-2y>0$이므로 $\displaystyle g(k)=0$을 만족하는 실수 $\displaystyle k$는 단 하나뿐이다.⑤ 따라서 주어진 곡선은 $\displaystyle y$축과 단 한 점에서 만나며, 그 점의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle -1<y<0$인 범위에 있다.

(3) ① 곡선이 직선 $\displaystyle y=1$과 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \ln(e+x^2)=2$로부터 $\displaystyle x^2=e^2-e$이므로 $\displaystyle a=\sqrt{e^2-e}$이다.② 주어진 곡선에 대하여 음함수의 미분을 구하면 $\displaystyle \frac{2x+2yy^{\prime}}{e-1+x^2+y^2}=y^{\prime}$이다.③ $\displaystyle A(\sqrt{e^2-e},1)$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac{2\sqrt{e^2-e}+2y^{\prime}}{e^2}=y^{\prime}$으로부터 $\displaystyle 2\sqrt{e^2-e}=(e^2-2)y^{\prime}$이므로④ $\displaystyle A(\sqrt{e^2-e},1)$에서 접선의 기울기는 $\displaystyle y^{\prime}=\frac{2\sqrt{e^2-e}}{e^2-2}$이다.