자연계열 4번

(1) ① $\displaystyle f^{\prime}(x)=1-\frac1x$, $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=\frac1{x^2}$이다.② 그래프의 개형을 표로 나타내면 오른쪽 표와 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c}x&0&\cdots&1&\cdots&\infty\\\hline f^{\prime}(x)&&-&0&+&\\\hline f^{\prime\prime}(x)&&+&+&+&\\\hline f(x)&&\searrow&1&\nearrow&\end{array}$③ 그래프의 개형은 오른쪽 그림과 같다.

④ 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 $\displaystyle f(x)$의 최솟값은 $\displaystyle f(1)=1$이므로 모든 양의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)\ge1$이 성립한다.

(2) ① (1)에 의해 $\displaystyle f(x)\ge1$이므로 $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\ge\int_a^b1\,dx$이다.② $\displaystyle \int_a^b1\,dx=b-a$③ $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=\Biggl[\frac12x^2-x\ln x+x\Biggr]_a^b=\frac12(b^2-a^2)+(b-a)-(b\ln b-a\ln a)$④ 따라서 $\displaystyle b\ln b-a\ln a\le\frac12(b^2-a^2)=\frac12(a+b)(b-a)$⑤ 양수 $\displaystyle b-a$로 양변을 나누어 주면 $\displaystyle \frac{a+b}2\ge\frac{b\ln b-a\ln a}{b-a}$이 성립한다.

(3) ① (1)에 의해 $\displaystyle x>1$에서 $\displaystyle f(x)$는 양의 값을 가지며 아래로 볼록하다.② 네 점 $\displaystyle (k,0)$, $\displaystyle (k+1,0)$, $\displaystyle (k,f(k))$, $\displaystyle (k+1,f(k+1))$을 꼭짓점으로 하는 사다리꼴의 넓이는 구간 $\displaystyle (k,k+1)$에서 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle x$축 사이의 넓이보다 크거나 같으므로,$\displaystyle \frac{f(k)+f(k+1)}2\ge\int_k^{k+1}f(x)\,dx\quad(k=1,2,\;\cdots)$.

③ 따라서 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\frac{f(k)+f(k+1)}2\ge\sum_{k=1}^{n-1}\int_k^{k+1}f(x)\,dx=\int_1^n f(x)\,dx$