자연계열 2번

(1) ① 원 $\displaystyle C_n$의 방정식은 $\displaystyle x^2+y^2=n(n+1)$이다.② $\displaystyle y=\sqrt x$를 원의 방정식에 대입하면 $\displaystyle x^2+x-n(n+1)=0$③ $\displaystyle (x-n)(x+n+1)=0$이므로 $\displaystyle x=n$ 또는 $\displaystyle x=-n-1$이다.④ $\displaystyle x>0$이므로 $\displaystyle x=n$을 $\displaystyle y=\sqrt x$에 대입하면 교점은 $\displaystyle P_n(n,\sqrt n)$이다.

(2) ① 원 $\displaystyle C_n$ 위의 점 $\displaystyle P_n(n,\sqrt n)$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle -\frac n{\sqrt n}=-\sqrt n$이므로② 접선의 방정식은 $\displaystyle y=-\sqrt n(x-n)+\sqrt n$, 즉 $\displaystyle y=-\sqrt n x+\sqrt n(n+1)$이다.③ 원 $\displaystyle C_{n+1}$의 방정식은 $\displaystyle x^2+y^2=(n+1)(n+2)$이다.④ $\displaystyle y=-\sqrt n x+\sqrt n(n+1)$를 대입하여 정리하면 $\displaystyle x^2-2nx+n^2=2$이다.⑤ 따라서 $\displaystyle x=n\pm\sqrt2$이고, 접선이 원 $\displaystyle C_{n+1}$와 만나는 두 점 $\displaystyle Q_n$과 $\displaystyle R_n$의 $\displaystyle x$좌표의 차는 $\displaystyle 2\sqrt2$이다.

(3) ① 원 $\displaystyle C_{n+1}$에서 $\displaystyle \overline{OQ_n}=\overline{OR_n}$이고, 원 $\displaystyle C_n$에서 $\displaystyle \overline{OP_n}\perp\overline{Q_nR_n}$이므로 $\displaystyle \angle P_nOR_n=\frac{\theta_n}2$이다.② $\displaystyle \cos\frac{\theta_n}2=\frac{\overline{OP_n}}{\overline{OR_n}}=\frac{\sqrt{n(n+1)}}{\sqrt{(n+1)(n+2)}}=\frac{\sqrt n}{\sqrt{n+2}}$③ $\displaystyle \cos\theta_n=2\left(\cos\frac{\theta_n}2\right)^2-1=\frac{2n}{n+2}-1=\frac{n-2}{n+2}$④ $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\cos\theta_n=\lim_{n\to\infty}\frac{n-2}{n+2}=1$