자연계열 3번

(1) ① $\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\{f(x)\}^3+1}{x^2-1}=\lim_{x\to1}\frac{(\{f(x)\}^2-f(x)+1)(f(x)+1)}{(x+1)(x-1)}=3$이다.② $\displaystyle f(x)$가 다항함수이므로 $\displaystyle f^{\prime}(1)=\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{f(x)+1}{x-1}$의 값이 존재한다.③ 따라서 $\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\{f(x)\}^2-f(x)+1}{x+1}\times\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$이므로④ $\displaystyle 3=\frac32 f^{\prime}(1)$로부터 $\displaystyle f^{\prime}(1)=2$이다.

(2) ① 함수 $\displaystyle e^x$의 $\displaystyle x=1$에서의 미분계수의 정의에 의하여 $\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{e^x-e}{x-1}=e$이다.② $\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{(e^x-e)\{f(x)+g(x)\}}{(x-1)^2g(x)}=2$에서 극한 $\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{f(x)+g(x)}{(x-1)g(x)}$이 존재해야 하므로 $\displaystyle \lim_{x\to1}(f(x)+g(x))=0$이다.③ $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$가 다항함수이므로 실수 전체에서 연속이므로 $\displaystyle \lim_{x\to1}(f(x)+g(x))=f(1)+g(1)=0$으로부터 $\displaystyle g(1)=1$이다.④ 그러므로 $\displaystyle h(1)=\frac{f(1)}{g(1)}=-1$이다.⑤ 따라서 $\displaystyle \begin{aligned}\lim_{x\to1}\frac{(e^x-e)\{f(x)+g(x)\}}{(x-1)^2g(x)}&=\lim_{x\to1}\frac{e^x-e}{x-1}\times\lim_{x\to1}\frac{\frac{f(x)}{g(x)}-(-1)}{x-1}\\&=\lim_{x\to1}\frac{e^x-e}{x-1}\times\lim_{x\to1}\frac{h(x)-h(1)}{x-1}=eh^{\prime}(1)=2\end{aligned}$이므로 $\displaystyle h^{\prime}(1)=\frac2e$이다.

(3) ① $\displaystyle h^{\prime}(1)=\frac{f^{\prime}(1)g(1)-f(1)g^{\prime}(1)}{g(1)^2}=2+g^{\prime}(1)=\frac2e$이다.② $\displaystyle g^{\prime}(1)=\frac2e-2$이다.③ $\displaystyle k^{\prime}(x)=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$이므로④ $\displaystyle k^{\prime}(1)=f^{\prime}(g(1))g^{\prime}(1)=f^{\prime}(1)\left(\frac2e-2\right)=2\left(\frac2e-2\right)=\frac4e-4$이다.