자연계열 1번

1)곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (t,f(t))$에서의 접선의 방정식은$\displaystyle y-(t^3-3t^2)=(3t^2-6t)(x-t)$, 즉 $\displaystyle y=(3t^2-6t)x-2t^3+3t^2$이다.접선이 $\displaystyle (a,0)$을 지나므로 $\displaystyle 0=(3t^2-6t)a-2t^3+3t^2=-t(2t^2-3(a+1)t+6a)$를 만족하는 $\displaystyle t$가 접점의 $\displaystyle x$좌표이다.$\displaystyle t=0$이 접점의 $\displaystyle x$좌표이고, $\displaystyle t=0$이 이차방정식 $\displaystyle 2t^2-3(a+1)t+6a=0$의 중근이 될 수 없으므로, 접선의 개수가 1이려면 이차방정식 $\displaystyle 2t^2-3(a+1)t+6a=0$의 실근이 없어야 한다.이 이차방정식의 판별식이 $\displaystyle D=9(a+1)^2-48a=9a^2-30a+9=3(3a-1)(a-3)$이므로접선의 개수가 1이려면 $\displaystyle D<0$으로부터 $\displaystyle \frac13<a<3$이다.

2)접점의 $\displaystyle x$좌표 $\displaystyle t$는 $\displaystyle -t(2t^2-3(a+1)t+6a)t=0$을 만족하는데,Correction. 접점 방정식의 마지막 $\displaystyle t$는 중복된 표기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle t=0$은 접점의 $\displaystyle x$좌표의 합에 영향을 주지 않는다.따라서 $\displaystyle 2t^2-3(a+1)t+6a=0$을 만족하는 접점의 $\displaystyle x$좌표 $\displaystyle t$를 살펴보면 된다.이 이차방정식의 판별식이 $\displaystyle D=3(3a-1)(a-3)$이므로 $\displaystyle a<\frac13$ 또는 $\displaystyle a>3$일 때 $\displaystyle D>0$이며이차식의 서로 다른 두 실근의 합 $\displaystyle \frac32(a+1)$이 1이 되는 $\displaystyle a$의 값은 $\displaystyle a=-\frac13$이다.$\displaystyle a=\frac13$일 때는 $\displaystyle D=0$이고, $\displaystyle 2t^2-4t+2=2(t-1)^2=0$에서 $\displaystyle t=1$이 중근이므로 접점의 $\displaystyle x$좌표의 합이 1이다.$\displaystyle a=3$일 때는 $\displaystyle D=0$이고, $\displaystyle 2t^2-12t+18=2(t-3)^2=0$에서 $\displaystyle t=3$이 중근이므로 접점의 $\displaystyle x$좌표의 합이 1이 아니다.따라서 문제의 조건을 만족하는 $\displaystyle a$의 값은 $\displaystyle a=-\frac13$과 $\displaystyle a=\frac13$이다.

3)곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (t,f(t))$에서의 접선의 방정식 $\displaystyle y=(3t^2-6t)x-2t^3+3t^2$이$\displaystyle (0,b)$를 지나므로 $\displaystyle -2t^3+3t^2=b$의 서로 다른 근의 개수가 3인 $\displaystyle b$의 범위를 찾으면 된다.$\displaystyle g(t)=-2t^3+3t^2$라 할 때,$\displaystyle g^{\prime}(t)=-6t^2+6t=-6t(t-1)$이므로$\displaystyle y=g(t)$의 그래프의 증감을 표로 나타내면 오른쪽과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c}t&\cdots&0&\cdots&1&\cdots\\\hline g^{\prime}(t)&-&0&+&0&-\\\hline g(t)&\searrow&0&\nearrow&1&\searrow\end{array}$이를 바탕으로 $\displaystyle y=g(t)$의 그래프의 개형을 그리면 오른쪽 그림과 같다.따라서 $\displaystyle g(t)=b$의 서로 다른 근의 개수가 3인 $\displaystyle b$의 범위는$\displaystyle 0<b<1$이다.