자연계열 2번

1)$\displaystyle 0<t\le\frac32$인 경우: 두 정삼각형의 내부의 공통부분으로 이루어진 도형은 마름모이고, 이 마름모는 2개의 높이가 $\displaystyle \frac t2$인 정삼각형으로 나누어지므로 이의 넓이는 $\displaystyle f(t)=2\times\frac t2\times\frac1{\sqrt3}\times\frac t2=\frac{t^2}{2\sqrt3}$이다.$\displaystyle \frac32<t<3$인 경우: 두 사다리꼴 MNOL과 LOPK의 면적의 합을 구하면 된다. $\displaystyle \overline{MN}=\frac{2t-3}{\sqrt3}$, $\displaystyle \overline{LO}=\frac t{\sqrt3}$이고사다리꼴의 높이는 $\displaystyle \frac{3-t}2$이므로 육각형 KLMNOP의 넓이는 $\displaystyle \frac{\left(\frac{2t-3}{\sqrt3}+\frac t{\sqrt3}\right)}2\times\frac{(3-t)}2\times2$이다.정리하면 $\displaystyle \frac32<t<3$인 경우 육각형 KLMNOP의 넓이는$\displaystyle f(t)=-\frac{\sqrt3}2(t^2-4t+3)$이다.그러므로 $\displaystyle f(t)=\begin{cases}\frac{t^2}{2\sqrt3},&0<t\le\frac32\\-\frac{\sqrt3}2(t^2-4t+3),&\frac32<t<3\end{cases}$이다.

2)$\displaystyle f(t)=\begin{cases}\frac{t^2}{2\sqrt3},&0<t\le\frac32\\-\frac{\sqrt3}2(t^2-4t+3),&\frac32<t<3\end{cases}$의그래프는 $\displaystyle 0<t\le\frac32$에서 증가함수이고$\displaystyle f\left(\frac32\right)=\frac{3\sqrt3}8$이다. $\displaystyle \frac32<t<3$일 때$\displaystyle f(t)=-\frac{\sqrt3}2(t^2-4t+3)=-\frac{\sqrt3}2((t-2)^2-1)$이므로 $\displaystyle t=2$일 때, 극댓값 $\displaystyle \frac{\sqrt3}2$을 갖는다.따라서 이 함수의 최댓값은 $\displaystyle \frac{\sqrt3}2$이다.이때 6개의 삼각형 MFN, NBO, ODP, PCK, KEL, LAM은 모두 높이가 $\displaystyle \frac12$인 정삼각형이므로, 함수가 최대가 될 때의 도형은 한 변의 길이가 $\displaystyle \frac{\sqrt3}3$인 정육각형이다. 따라서 둘레의 길이는 $\displaystyle 2\sqrt3$이다.

3)한 변의 길이가 $\displaystyle a$인 정육각형의 넓이는 $\displaystyle 6\times\left(\frac{\sqrt3a^2}4\right)=\frac{3\sqrt3}2a^2$이고, $\displaystyle \overline{A_{n+1}B_{n+1}}=\frac{\overline{A_nB_n}}{\sqrt3}$이다.$\displaystyle S_1$은 한 변의 길이가 $\displaystyle \overline{A_2B_2}=\frac1{\sqrt3}$인 정삼각형 6개의 넓이의 합이므로 $\displaystyle S_1=\frac{\sqrt3}2$이다.$\displaystyle S_2$는 한 변의 길이가 $\displaystyle \overline{A_3B_3}=\frac{\overline{A_2B_2}}{\sqrt3}=\frac13$인 정삼각형 6개의 합이므로 정육각형 $\displaystyle A_3B_3C_3D_3E_3F_3$의 넓이와 같고따라서 $\displaystyle S_2=\frac{\sqrt3}6$이다. 수열 $\displaystyle S_n$은 $\displaystyle S_1=\frac{\sqrt3}2$이고 공비가 $\displaystyle \frac13$인 등비수열이므로$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{\sqrt3}2(1-(1/3)^n)}{1-(1/3)}=\frac{3\sqrt3}4$이다.