자연계열 3번

1)직선 $\displaystyle y=nx$ 위에서 예를 들어 한 점 $\displaystyle P_n(1,n)$을 잡으면 $\displaystyle y$축 위의 점 $\displaystyle Q_n(0,n)$에 대하여삼각형 $\displaystyle OP_nQ_n$은 직각삼각형이다. 따라서 $\displaystyle \tan\alpha_n=\frac{\overline{Q_nP_n}}{\overline{OQ_n}}=\frac1n$이다. 삼각형의 빗변의길이는 $\displaystyle \sqrt{n^2+1}$이므로 $\displaystyle \sin\alpha_n=\frac{\overline{Q_nP_n}}{\overline{OP_n}}=\frac1{\sqrt{n^2+1}}$이다.

2)$\displaystyle \overline{OB_n}:\overline{OC_n}=2:1$이므로 $\displaystyle C_n$의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle t_n$으로 두면 $\displaystyle C_n(t_n,nt_n)$이고 $\displaystyle B_n$의 좌표는 $\displaystyle B_n(-2t_n,-2nt_n)$으로 쓸 수 있다. $\displaystyle B_n$에서 $\displaystyle y$축에 내린 수선과 $\displaystyle y$축이 만나는 점을 $\displaystyle D_n$, $\displaystyle C_n$에서 $\displaystyle y$축에 내린 수선과 $\displaystyle y$축이 만나는 점을 $\displaystyle E_n$이라 하면 직각삼각형 $\displaystyle AB_nD_n$에서 $\displaystyle \tan\theta_n=\frac{2t_n}{1+2nt_n}$이고, 직각삼각형 $\displaystyle AC_nE_n$에서 $\displaystyle \tan\theta_n=\frac{t_n}{1-nt_n}$이다.$\displaystyle \frac{2t_n}{1+2nt_n}=\frac{t_n}{1-nt_n}$로부터 $\displaystyle t_n=\frac1{4n}$을 얻고, $\displaystyle \tan\theta_n=\frac1{3n}$이다.$\displaystyle 0<\theta_n<\theta_n+\angle AB_nO=\alpha_n$이고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\alpha_n=0$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\theta_n=0$이다.따라서 구하는 극한값은 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\tan\alpha_n}{\alpha_n}=1$, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\theta_n}{\tan\theta_n}=1$,$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\tan\theta_n}{\tan\alpha_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1/3n}{1/n}=\frac13$이므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\theta_n}{\alpha_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\tan\alpha_n}{\alpha_n}\cdot\frac{\theta_n}{\tan\theta_n}\cdot\frac{\tan\theta_n}{\tan\alpha_n}=\frac13$이다.

3)$\displaystyle t_n=\frac1{4n}$을 이용하면 $\displaystyle B_n\left(-\frac1{2n},-\frac12\right)$, $\displaystyle C_n\left(\frac1{4n},\frac14\right)$로 주어진다.삼각형 $\displaystyle OAB_n$의 넓이는 $\displaystyle \frac12\cdot\overline{OA}\cdot\overline{B_nD_n}=\frac12\cdot1\cdot\frac1{2n}=\frac1{4n}$이고, 삼각형 $\displaystyle OAC_n$의 넓이는$\displaystyle \frac12\cdot\overline{OA}\cdot\overline{C_nE_n}=\frac12\cdot1\cdot\frac1{4n}=\frac1{8n}$이다.두 삼각형의 넓이를 더하여 삼각형 $\displaystyle AB_nC_n$의 넓이는 $\displaystyle S_n=\frac1{4n}+\frac1{8n}=\frac3{8n}$이다.문제에서 제시한 급수의 값을 구하면 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_nS_{n+1}=\sum_{n=1}^\infty\frac3{8n}\cdot\frac3{8(n+1)}$$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac3{8k}\cdot\frac3{8(k+1)}=\frac9{64}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)=\frac9{64}\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1{n+1}\right)=\frac9{64}$이다.