자연계열 4번

1)조건 (가)로부터 $\displaystyle f(0)+f(0)=4$이므로 $\displaystyle f(0)=2$이다.또 조건 (가)로부터 $\displaystyle f(1)+f(-1)=4$이고,그리고 조건 (나)로부터 $\displaystyle f(1)=f(-1+2)=f(-1)$이므로 $\displaystyle f(1)=f(-1)=2$이다.즉 $\displaystyle f(-1)=f(0)=f(-1)=2$Correction. 마지막 $\displaystyle f(-1)$은 $\displaystyle f(1)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 롤의 정리에 의하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$인 근이 열린구간 $\displaystyle (-1,0)$과 $\displaystyle (0,1)$에 각각 하나 이상존재한다. 그러므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 서로 다른 실근이 열린구간 $\displaystyle (-1,1)$에 두 개 이상 존재한다.

2)$\displaystyle h^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)$이므로 조건 (다)에서 $\displaystyle \int_0^1 xf^{\prime}(x)\,dx=\int_0^1 xh^{\prime}(x)\,dx=1$이다.이제 부분적분법을 이용하면 $\displaystyle \int_0^1 xh^{\prime}(x)\,dx=\Biggl[xh(x)\Biggr]_0^1-\int_0^1 h(x)\,dx$여기에서 $\displaystyle h(1)=f(1)-2=0$이므로 $\displaystyle \int_0^1 xh^{\prime}(x)\,dx=h(1)-\int_0^1 h(x)\,dx=0-\int_0^1 h(x)\,dx$따라서 $\displaystyle \int_0^1 xh^{\prime}(x)\,dx=1$로부터 $\displaystyle \int_0^1 h(x)\,dx=-1$이다.

3)$\displaystyle f(x)=h(x)+2$이므로$\displaystyle \int_4^9 f(x)\,dx=\int_4^9\{h(x)+2\}\,dx=10+\int_4^9 h(x)\,dx$이고,조건 (나)로부터 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle h(x+2)=h(x)$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\int_4^9 h(x)\,dx&=\int_4^5 h(x)\,dx+\int_5^7 h(x)\,dx+\int_7^9 h(x)\,dx\\&=\int_0^1 h(x)\,dx+\int_{-1}^1 h(x)\,dx+\int_{-1}^1 h(x)\,dx\end{aligned}$조건 (가)로부터 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)-2=-\{f(-x)-2\}$, 즉 $\displaystyle h(x)=-h(-x)$이므로, 함수 $\displaystyle h(x)$의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.따라서 $\displaystyle \int_{-1}^1 h(x)\,dx=0$이다.그러므로 $\displaystyle \int_4^9 h(x)\,dx=\int_0^1 h(x)\,dx+0+0=-1$이다.따라서 $\displaystyle \int_4^9 f(x)\,dx=10-1=9$이다.