자연계열 1번

(1) ① $\displaystyle n=1$일 때, $\displaystyle f(0)=\sin\frac\pi4\sin\frac\pi4$이고② $\displaystyle \sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}2$이므로③ $\displaystyle f(0)=\frac12$이다.④ $\displaystyle f^{\prime}(0)=\cos\frac\pi4\sin\frac\pi4+2\sin\frac\pi4\cos\frac\pi4$이고⑤ $\displaystyle \sin\frac\pi4=\cos\frac\pi4=\frac{\sqrt2}2$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac12(1+2)=\frac32$이다.

(2) ① $\displaystyle f(0)=n\left(\sin\frac\pi4\right)^2=\frac n2$이다.② $\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(0)&=\left(\cos\frac\pi4\sin\frac\pi4+2\sin\frac\pi4\cos\frac\pi4\right)+\left(2\cos\frac\pi4\sin\frac\pi4+3\sin\frac\pi4\cos\frac\pi4\right)\\&\quad+\cdots+\left(n\cos\frac\pi4\sin\frac\pi4+(n+1)\sin\frac\pi4\cos\frac\pi4\right)\end{aligned}$③ $\displaystyle f^{\prime}(0)=\left(\frac12+1\right)+\left(1+\frac32\right)+\cdots+\left(\frac n2+\frac{n+1}2\right)$④ 따라서 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac12\{1+2(2+3+\cdots+n)+n+1\}$이므로⑤ $\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac12\times\{n(n+1)+n\}=\frac{n(n+2)}2$이다.

(3) ① 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프 위의 점 $\displaystyle (0,f(0))$에서의 접선의 방정식은$\displaystyle y=f^{\prime}(0)(x-0)+f(0)$이므로② 접선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{n(n+2)}2x+\frac n2$이다.③ 이 접선의 $\displaystyle x$절편은 $\displaystyle \left(-\frac1{n+2},0\right)$, $\displaystyle y$절편은 $\displaystyle \left(0,\frac n2\right)$이다.④ 접선과 $\displaystyle x$축 및 $\displaystyle y$축으로 둘러싸인 도형인 삼각형의 넓이 $\displaystyle A_n$은$\displaystyle A_n=\frac12\times\frac1{n+2}\times\frac n2=\frac n{4(n+2)}$이므로⑤ $\displaystyle \lim_{n\to\infty}A_n=\lim_{n\to\infty}\frac n{4(n+2)}=\frac14$이다.