자연계열 3번

(1) ① $\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{4t}{t^2+1}$② $\displaystyle \frac{dy}{dt}=2t-\frac{2t}{(t^2+1)^2}$③ $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$④ $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{2t-\frac{2t}{(t^2+1)^2}}{\frac{4t}{t^2+1}}=\frac{(t^2+1)^2-1}{2(t^2+1)}=\frac{t^2(t^2+2)}{2(t^2+1)}$⑤ 따라서 $\displaystyle t=1$일 때 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac34$이다.

(2) ① $\displaystyle \left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2=\left(\frac{4t}{t^2+1}\right)^2+\left(2t-\frac{2t}{(t^2+1)^2}\right)^2$② $\displaystyle =4t^2\left\{\frac4{(t^2+1)^2}+\left(1-\frac1{(t^2+1)^2}\right)^2\right\}$③ $\displaystyle =4t^2\left(1+\frac1{(t^2+1)^2}\right)^2=(f(t))^2$이고④ $\displaystyle t\ge0$이므로 $\displaystyle f(t)\ge0$일 때 $\displaystyle f(t)=2t\left(1+\frac1{(t^2+1)^2}\right)$이다.

(3) ① $\displaystyle t=0$에서 $\displaystyle t=1$까지 점 P가 움직인 거리 $\displaystyle L$은 $\displaystyle L=\int_0^1\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt$이다.② 앞의 (2)의 결과를 이용하여 $\displaystyle L$을 구하면 $\displaystyle \begin{aligned}L&=\int_0^1\sqrt{(f(t))^2}dt=\int_0^1f(t)dt\\&=\int_0^1\left(2t+\frac{2t}{(t^2+1)^2}\right)dt\\&=\int_0^12t\,dt+\int_0^1\frac{2t}{(t^2+1)^2}dt\end{aligned}$③ 여기에서 $\displaystyle \int_0^12t\,dt=\Biggl[t^2\Biggr]_0^1=1$이고,④ $\displaystyle t^2+1=u$로 두고 치환적분법을 이용하면$\displaystyle \int_0^1\frac{2t}{(t^2+1)^2}dt=\int_1^2\frac1{u^2}du=\Biggl[-\frac1u\Biggr]_1^2=\frac12$⑤ 따라서 $\displaystyle L=1+\frac12=\frac32$이다.