자연계열 4번

(1) ① 도형 $\displaystyle R_n$으로부터 도형 $\displaystyle R_{n+1}$을 얻는 과정에서 도형 $\displaystyle R_n$의 각 변마다 1개의 이등변삼각형을 새로 그리게 되므로 그 개수 $\displaystyle N_n$은 도형 $\displaystyle R_n$의 변의 개수와 같다.② $\displaystyle N_1=6$③ $\displaystyle N_2=6\times4$, $\displaystyle N_3=6\times4\times4$, …④ 따라서 $\displaystyle N_n=6\times4^{n-1}$이다.

(2) ① 도형 $\displaystyle R_n$으로부터 도형 $\displaystyle R_{n+1}$을 얻는 과정에서 새로 그려지는 한 이등변삼각형을 $\displaystyle A_nB_nC_n$이라고 하자.오른쪽 그림의 삼각형 $\displaystyle A_1B_1C_1$에서 삼각형의 높이는$\displaystyle \sqrt{\left(\frac25\right)^2-\left(\frac1{10}\right)^2}=\frac{\sqrt{15}}{10}$이므로② 삼각형 $\displaystyle A_1B_1C_1$의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times\frac15\times\frac{\sqrt{15}}{10}=\frac{\sqrt{15}}{10^2}$이다.③ 그리고 삼각형 $\displaystyle A_nB_nC_n$과 삼각형 $\displaystyle A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}$의 닮음비는 $\displaystyle 1:\frac25$이므로,넓이의 비는 $\displaystyle 1:\left(\frac25\right)^2$이다.따라서 삼각형 $\displaystyle A_nB_nC_n$의 넓이는 $\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{10^2}\left(\frac25\right)^{2(n-1)}$이다.④ 그러므로 도형 $\displaystyle R_n$으로부터 도형 $\displaystyle R_{n+1}$을 얻는 과정에서 새로 그려지는 모든 이등변삼각형의 넓이의 합 $\displaystyle x_n$은$\displaystyle x_n=N_n\times\frac{\sqrt{15}}{10^2}\left(\frac25\right)^{2(n-1)}=6\times4^{n-1}\times\frac{\sqrt{15}}{10^2}\left(\frac25\right)^{2(n-1)}=6\times\frac{\sqrt{15}}{10^2}\left(\frac45\right)^{2(n-1)}$⑤ 따라서 $\displaystyle x_1=6\times\frac{\sqrt{15}}{10^2}$이고, 수열 $\displaystyle \{x_n\}$의 공비는 $\displaystyle \frac{16}{25}$이다.

(3) ① 도형 $\displaystyle R_1$은 한 변의 길이가 1인 정육각형이므로 그 넓이 $\displaystyle S_1$은$\displaystyle S_1=6\times\frac12\times1\times\frac{\sqrt3}2=\frac{3\sqrt3}2$이다.② 도형 $\displaystyle R_{n+1}$의 넓이 $\displaystyle S_{n+1}$은 도형 $\displaystyle R_n$의 넓이 $\displaystyle S_n$에서 (2)에서 구한 $\displaystyle x_n$을 뺀 값이므로③ $\displaystyle S_2=S_1-x_1$$\displaystyle S_3=S_2-x_2=S_1-(x_1+x_2)$$\displaystyle S_4=S_3-x_3=S_1-(x_1+x_2+x_3)$$\displaystyle \vdots$이다.④ 따라서 $\displaystyle n\ge2$일 때 $\displaystyle S_n=S_1-\sum_{k=1}^{n-1}x_k$이다.⑤ 그러므로 $\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}S_n&=S_1-\sum_{n=1}^\infty x_n=S_1-x_1\times\frac1{1-r}\\&=S_1-6\times\frac{\sqrt{15}}{10^2}\times\frac1{1-\frac{16}{25}}\\&=S_1-\frac{\sqrt{15}}6\\&=\frac{3\sqrt3}2-\frac{\sqrt{15}}6\end{aligned}$