자연계열 2번

(1) ① $\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{f(x)}{x-3}=2$로부터 $\displaystyle f(3)=0$이므로② $\displaystyle f(x)=(x-3)(x-k)$이 성립한다.③ $\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{f(x)}{x-3}=\lim_{x\to3}\frac{(x-3)(x-k)}{x-3}=3-k=2$이다.④ 따라서 $\displaystyle k=1$이므로⑤ $\displaystyle f(x)=(x-3)(x-1)=x^2-4x+3$

(2) ① 두 곡선 $\displaystyle y=x^3+x^2-7x+c$와 $\displaystyle y=f(x)=x^2-4x+3$이 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표는방정식 $\displaystyle x^3+x^2-7x+c=x^2-4x+3$의 해이다. 그런데② 만나는 점에서 두 곡선이 같은 접선을 가지려면 그 점에서 두 곡선의 접선의 기울기가 같아야 한다.즉 $\displaystyle y^{\prime}=3x^2+2x-7$과 $\displaystyle y^{\prime}=2x-4$가 같은 값을 가져야 하므로③ $\displaystyle 3x^2+2x-7=2x-4$의 해를 구하면 $\displaystyle x=1$, $\displaystyle x=-1$이다.④ $\displaystyle x=1$에서 두 곡선이 만나려면 ①의 방정식으로부터 $\displaystyle -5+c=0$, 즉 $\displaystyle c=5$이고,⑤ $\displaystyle x=-1$에서 두 곡선이 만나려면 ①의 방정식으로부터 $\displaystyle 7+c=8$, 즉 $\displaystyle c=1$이다.따라서 $\displaystyle c=1$과 $\displaystyle c=5$이다.

(3) ① 위 (2)에서 구한 $\displaystyle c$의 값 중에서 가장 작은 것은 $\displaystyle c=1$이다.② 따라서 두 곡선 $\displaystyle y=x^3+x^2-7x+1$과 $\displaystyle y=x^2-4x+3$으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구한다.③ $\displaystyle x^3+x^2-7x+1=x^2-4x+3$, 즉 $\displaystyle x^3-3x-2=(x+1)^2(x-2)=0$으로부터 두 곡선의 교점의 $\displaystyle x$좌표는$\displaystyle x=1$, $\displaystyle x=2$이다.Correction. 교점의 x좌표에서 첫 번째 값 $\displaystyle 1$은 $\displaystyle -1$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.④ $\displaystyle \int_{-1}^2(x^3-3x-2)dx=\Biggl[\frac14x^4-\frac12x^2-2x\Biggr]_{-1}^2=-\frac{27}4$이므로Correction. 원시함수의 이차항에서 $\displaystyle -\frac12x^2$는 $\displaystyle -\frac32x^2$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.⑤ 구하는 넓이는 $\displaystyle \frac{27}4$이다.