자연계열 1번

(1) 곡선 $\displaystyle y=e^{-x}$ 위의 점 P$\displaystyle (c,e^{-c})$에서의 접선의 기울기를 $\displaystyle m$이라 두면 $\displaystyle (e^{-x})^{\prime}=-e^{-x}$으로부터 $\displaystyle m=-e^{-c}$이고 접선의 방정식 $\displaystyle y=-e^{-c}(x-c)+e^{-c}$이 점 $\displaystyle (n,0)$을 지나므로 $\displaystyle 0=-e^{-c}(n-c)+e^{-c}=e^{-c}(c-n+1)$이고 $\displaystyle e^{-c}\ne0$이므로 $\displaystyle c=n-1$이다. 접선의 방정식은 $\displaystyle y=-e^{1-n}(x-n)$, 접점은 P$\displaystyle (n-1,e^{1-n})$이다.

(2) $\displaystyle a_n=\int_{n-1}^n\{e^{-x}-(-e^{1-n}x+ne^{1-n})\}\,dx+\int_n^{2n}e^{-x}dx$이고

$\displaystyle \int_{n-1}^n\{e^{-x}-(-e^{1-n}x+ne^{1-n})\}\,dx=e^{1-n}-e^{-n}-\frac{e^{1-n}}2$$\displaystyle \int_n^{2n}e^{-x}dx=e^{-n}-e^{-2n}$이므로$\displaystyle a_n=\int_{n-1}^n\{e^{-x}-(-e^{1-n}x+ne^{1-n})\}\,dx+\int_n^{2n}e^{-x}dx=\frac{e^{1-n}}2-e^{-2n}$이다.그러므로 $\displaystyle 0<\frac1e<1$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}e^na_n=\frac e2-\lim_{n\to\infty}e^{-n}=\frac e2$이다.

(3) 점 P를 지나고 접선 $\displaystyle \ell$에 수직인 직선의 방정식은 $\displaystyle y=e^{n-1}(x-n+1)+e^{1-n}$이고, 이 직선의 $\displaystyle x$절편은 $\displaystyle n-1-e^{2-2n}$이므로 삼각형의 넓이는 $\displaystyle b_n=\frac12\times e^{2-2n}\times e^{1-n}=\frac12e^{3-3n}$이다.

$\displaystyle b_n=\frac{e^3}2\left(\frac1{e^3}\right)^n$이고 $\displaystyle 0<\frac1{e^3}<1$이므로 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n=\sum_{n=1}^\infty\frac{e^3}2\left(\frac1{e^3}\right)^n=\frac{e^3}{2(e^3-1)}$이다.