자연계열 3번

(1) 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$, $\displaystyle y=g(x)$의 교점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle f(x)-g(x)=x\{x^2-(2a-1)x+3a\}=0$의 근이다. 이때 4보다 큰 양의 실수 $\displaystyle a$에 대하여 $\displaystyle x^2-(2a-1)x+3a=0$에서 두 근의 합이 $\displaystyle 2a-1>0$이고, 두 근의 곱이 $\displaystyle 3a>0$이므로 두 근은 모두 양수이다. 따라서 두 곡선의 교점의 $\displaystyle x$좌표 중 $\displaystyle x=0$을 제외한 두 값은 0보다 크다. 구간 $\displaystyle [-2,0]$에서 $\displaystyle f(x)\le g(x)$이므로 직선 $\displaystyle x=-2$와 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 $\displaystyle \int_{-2}^0(g(x)-f(x))dx=58$이다.$\displaystyle \begin{aligned}\int_{-2}^0\{-ax^2-3ax-x^3+(3a-1)x^2\}dx&=\int_{-2}^0\{-x^3+(2a-1)x^2-3ax\}dx\\&=\Biggl[-\frac14x^4+\frac13(2a-1)x^3-\frac32ax^2\Biggr]_{-2}^0=4+\frac83(2a-1)+6a=58\end{aligned}$이므로 $\displaystyle a=5$이다.

(2) 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=g(x)+b$가 어떤 한 점에서 공통접선을 가지려면 그 점에서 함수값이 같고 접선의 기울기가 같아야 한다. $\displaystyle f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)$인 $\displaystyle x$값을 찾는다. $\displaystyle 3x^2-28x=-10x-15$로부터 $\displaystyle x=1$ 또는 $\displaystyle x=5$이다. $\displaystyle x=1$일 때 $\displaystyle f(1)=g(1)+b$가 되어야 하므로 $\displaystyle 1-14=-5-15+b$로부터 $\displaystyle b=7$이다. $\displaystyle x=5$일 때 $\displaystyle f(5)=g(5)+b$가 되어야 하므로 $\displaystyle 125-350=-200+b$로부터 $\displaystyle b=-25$이다. 이 중 양수는 $\displaystyle b=7$이다. 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=g(x)+7$이 $\displaystyle x=1$에서 공통접선을 가지므로$\displaystyle f(x)-\{g(x)+7\}=x^3-14x^2-(-5x^2-15x+7)=x^3-9x^2+15x-7=(x-1)^2(x-7)$이다.따라서 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$, $\displaystyle y=g(x)+7$의 교점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle x=1$ 또는 $\displaystyle x=7$이다. 구간 $\displaystyle [1,7]$에서 $\displaystyle g(x)+7\ge f(x)$이므로 이 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이는$\displaystyle \int_1^7(-x^3+9x^2-15x+7)dx=\Biggl[-\frac14x^4+3x^3-\frac{15}2x+7x\Biggr]_1^7=108$이다.Correction. 원시함수의 항 $\displaystyle -\frac{15}2x$는 $\displaystyle -\frac{15}2x^2$의 오기이다. $\displaystyle -15x$를 적분하면 $\displaystyle -\frac{15}2x^2$이 되고, 이를 사용해 $\displaystyle 1$부터 $\displaystyle 7$까지 적분하면 넓이는 $\displaystyle 108$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(3) 주어진 함수 $\displaystyle h(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다. 그리고 함수 $\displaystyle f(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로, 함수 $\displaystyle h(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하려면 $\displaystyle h(x)$가 $\displaystyle x=c$에서 미분가능하면 된다.$\displaystyle \lim_{t\to0-}\frac{h(c+t)-h(c)}t=\lim_{t\to0+}\frac{h(c+t)-h(c)}t$ … (가)(가)가 성립하도록 하는 실수 $\displaystyle c$를 찾으면 된다. 실수 $\displaystyle t$가 음수인 경우, $\displaystyle c+t<c$이므로$\displaystyle \frac{h(c+t)-h(c)}t=\frac{f(c+t)-f(c)}t$가 되어, (가)의 좌변은 $\displaystyle f^{\prime}(c)$가 된다. 실수 $\displaystyle t$가 양수인 경우, $\displaystyle c+t>c$이므로$\displaystyle \frac{h(c+t)-h(c)}t=\frac{f(c-t)-f(c)}t=(-1)\times\frac{f(c-t)-f(t)}{-t}$가 되어, (가)의 우변은 $\displaystyle -f^{\prime}(c)$가 된다. 따라서 (가)가 성립하기 위해서는 $\displaystyle f^{\prime}(c)=-f^{\prime}(c)$가 성립해야 하고, $\displaystyle f^{\prime}(c)=0$이 되는 실수 $\displaystyle c$를 찾는다. $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-28x$이므로, $\displaystyle f^{\prime}(c)=0$인 실수 $\displaystyle c=0,\;\frac{28}3$이다.Correction. 마지막 차분식의 $\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle f(c)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.