자연계열 4번

(1) 구하는 유리함수는 $\displaystyle y=\frac k{x-p}+q$ (단, $\displaystyle k\ne0$인 상수) 형태로 표현되고 조건 (가)에 의하여 $\displaystyle p=n$, $\displaystyle q=0$이다. 조건 (나)로부터 P$\displaystyle \left(2n,\frac kn\right)$, Q$\displaystyle \left(0,-\frac kn\right)$이고 $\displaystyle k>0$이므로 주어진 도형의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times(2n)\times\frac{2k}n=\frac2{n^2}$이고 $\displaystyle k=\frac1{n^2}$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)=\frac{\frac1{n^2}}{x-n}=\frac1{n^2(x-n)}$이다.

(2) $\displaystyle n=1$일 때 $\displaystyle f(x)=\frac1{x-1}$이고 곡선 $\displaystyle y=\frac1{x-1}$을 직선 $\displaystyle y=x$에 대하여 대칭이동한 곡선은 $\displaystyle y=\frac1x+1$이다. 이 두 곡선의 교점은 직선 $\displaystyle y=x$ 위에 있으므로 $\displaystyle \frac1{x-1}=x$로부터 $\displaystyle \left(\frac{1+\sqrt5}2,\frac{1+\sqrt5}2\right)$, $\displaystyle \left(\frac{1-\sqrt5}2,\frac{1-\sqrt5}2\right)$이고 제1사분면 위의 점은 $\displaystyle \left(\frac{1+\sqrt5}2,\frac{1+\sqrt5}2\right)$이다. 오른쪽 그림과 같이 도형의 넓이는 $\displaystyle A_1+A_2$이고$\displaystyle \begin{aligned}A_1&=\int_1^{\frac{1+\sqrt5}2}\left\{1+\frac1x-(x-1)\right\}dx=\Biggl[\ln|x|+2x-\frac{x^2}2\Biggr]_1^{\frac{1+\sqrt5}2}\\&=\frac{-5+3\sqrt5}4+\ln\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)\end{aligned}$$\displaystyle \begin{aligned}A_2&=\int_{\frac{1+\sqrt5}2}^2\left\{\frac1{x-1}-(x-1)\right\}dx=\Biggl[\ln|x-1|-\frac{x^2}2+x\Biggr]_{\frac{1+\sqrt5}2}^2\\&=\frac{1-\sqrt5}4+\ln\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)\end{aligned}$이므로 도형의 넓이는 $\displaystyle A_1+A_2=\frac{-2+\sqrt5}2+2\ln\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)$이다.

(3) $\displaystyle f(x)=\frac1{n^2(x-n)}$, $\displaystyle \frac{n^2}{(n+1)^2}f(x-1)=\frac1{(n+1)^2\{x-(n+1)\}}$이므로 $\displaystyle x>n+1$이면 $\displaystyle f(x)>0$, $\displaystyle f(x-1)>0$이다. $\displaystyle x>n+1$일 때 $\displaystyle n^2f(x-1)\ge(n+1)^2f(x)$가 성립하는 $\displaystyle x$의 범위를 구하면$\displaystyle \frac1{(n+1)^2x-(n+1)^3}\ge\frac1{n^2x-n^3}$이므로 $\displaystyle n^2x-n^3\ge(n+1)^2x-(n+1)^3$이고 이를 정리하면$\displaystyle (2n+1)x\le3n^2+3n+1$이다. $\displaystyle n$이 자연수이므로 $\displaystyle 2n+1>0$이며 양변을 $\displaystyle 2n+1$로 나누면$\displaystyle x\le\frac{3n^2+3n+1}{2n+1}$이다.

$\displaystyle n+2\le x\le n+3$인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle n^2f(x-1)\ge(n+1)^2f(x)$가 성립하려면$\displaystyle n+3\le\frac{3n^2+3n+1}{2n+1}$이어야 하고, 이를 정리하면 $\displaystyle n^2-4n-2\ge0$이다. 따라서 $\displaystyle n\le2-\sqrt6$ 또는$\displaystyle n\ge2+\sqrt6$이므로 이를 만족하는 자연수 $\displaystyle n$의 최솟값은 5이다.