자연계열 2번

(1) 두 직선 $\displaystyle y=2\sqrt3(x-1)$과 $\displaystyle y=\frac{\sqrt3}7x$가 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 $\displaystyle \alpha,\beta$라 하면$\displaystyle \angle OPQ=\alpha-\beta$이고, $\displaystyle \tan\alpha=2\sqrt3$, $\displaystyle \tan\beta=\frac{\sqrt3}7$이므로 삼각함수의 덧셈정리에 의하여 $\displaystyle \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}=\frac{2\sqrt3-\frac{\sqrt3}7}{1+2\sqrt3\times\frac{\sqrt3}7}=\sqrt3$따라서 $\displaystyle \alpha-\beta=\angle OPQ=\frac\pi3$이므로 $\displaystyle \cos(\angle OPQ)=\frac12$이다.

(2) 두 직선 $\displaystyle y=2\sqrt3(x-1)$과 $\displaystyle y=\frac{\sqrt3}7x$의 교점 P$\displaystyle (x,y)$의 좌표를 구하면 $\displaystyle 2\sqrt3(x-1)=\frac{\sqrt3}7x$, $\displaystyle 14(x-1)=x$로부터 $\displaystyle x=\frac{14}{13}$이고 $\displaystyle y=\frac{2\sqrt3}{13}$이다. 따라서 $\displaystyle \overline{PQ}=\sqrt{\left(\frac1{13}\right)^2+\left(\frac{2\sqrt3}{13}\right)^2}=\frac{\sqrt{13}}{13}$. 그리고(1)에서 $\displaystyle \angle OPQ=\frac\pi3$이므로 코사인법칙에 의하여$\displaystyle \overline{RQ}^2=2^2+\overline{PQ}^2-2\times2\times\overline{PQ}\times\cos\frac\pi3=4+\frac1{13}-\frac{2\sqrt{13}}{13}=\frac{53-2\sqrt{13}}{13}$.이다.

(3) 두 직선 $\displaystyle y=(\tan k\theta)(x-1)$과 $\displaystyle y=(\tan\theta)x$가 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 각각 $\displaystyle k\theta,\theta$이다.따라서 $\displaystyle \angle OPQ=k\theta-\theta=(k-1)\theta$, $\displaystyle \angle OQP=\pi-k\theta$이므로 $\displaystyle \triangle OPQ$에서 사인법칙에 의하여$\displaystyle \frac{\overline{OP}}{\sin(\pi-k\theta)}=\frac{f(\theta)}{\sin k\theta}=\frac1{\sin(k-1)\theta}$이다. 따라서 $\displaystyle f(\theta)=\frac{\sin k\theta}{\sin(k-1)\theta}$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{\theta\to0+}f(\theta)&=\lim_{\theta\to0+}\frac{\sin k\theta}{\sin(k-1)\theta}=\lim_{\theta\to0+}\frac{k\times\frac{\sin k\theta}{k\theta}}{(k-1)\times\frac{\sin(k-1)\theta}{(k-1)\theta}}\\&=\frac{k\times\lim_{\theta\to0+}\frac{\sin k\theta}{k\theta}}{(k-1)\times\lim_{\theta\to0+}\frac{\sin(k-1)\theta}{(k-1)\theta}}=\frac k{k-1}\end{aligned}$이다.