자연계열 1번

(1) 교점 P의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle x_0$라 하자. 이때, $\displaystyle e^{\frac{x_0}{2}}+e^{-\frac{x_0}{2}}=-e^{\frac{x_0}{2}}-e^{-\frac{x_0}{2}}+a$이다. 두 곡선의 $\displaystyle x=x_0$에서의 접선의 기울기는 각각 $\displaystyle \frac12e^{\frac{x_0}{2}}-\frac12e^{-\frac{x_0}{2}}$, $\displaystyle -\frac12e^{\frac{x_0}{2}}+\frac12e^{-\frac{x_0}{2}}$이므로, 두 접선의 기울기의 곱은 $\displaystyle -\frac{(e^{\frac{x_0}{2}}-e^{-\frac{x_0}{2}})^2}{4}$이다. 따라서 $\displaystyle -\frac{(e^{\frac{x_0}{2}}-e^{-\frac{x_0}{2}})^2}{4}=-\frac{(e-\frac1e)^2}{4}$이다. 양변에 $\displaystyle -4$를 곱하고 양변의 제곱근을 구하면, $\displaystyle e^{\frac{x_0}{2}}-e^{-\frac{x_0}{2}}=\pm\left(e-\frac1e\right)$이고 $\displaystyle x_0>0$이므로, $\displaystyle e^{\frac{x_0}{2}}-e^{-\frac{x_0}{2}}>0$이 되어, $\displaystyle e^{\frac{x_0}{2}}-e^{-\frac{x_0}{2}}=e-\frac1e$이다. 따라서 $\displaystyle x_0=2$이고 $\displaystyle a=2\left(e+\frac1e\right)$이다.

(2) 그림에서와 같이 도형 $\displaystyle S$를 점 P를 기준으로 두 부분으로 나누어 계산하자.도형 $\displaystyle S_1$의 넓이는 $\displaystyle y=e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}$를 $\displaystyle x=0$에서 $\displaystyle x=2$까지 적분하고, 도형 $\displaystyle S_2$의 넓이는 $\displaystyle y=-e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}+a$를 $\displaystyle x=2$에서 $\displaystyle x=3$까지 적분하여 구한다. 이때, $\displaystyle S_1$의 넓이는$\displaystyle \int_0^2(e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}})dx=\Biggl[2e^{\frac{x}{2}}-2e^{-\frac{x}{2}}\Biggr]_0^2=2\left(e-\frac1e\right)$이고,$\displaystyle S_2$의 넓이는$\displaystyle \int_2^3(-e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}+a)dx=\Biggl[-2e^{\frac{x}{2}}+2e^{-\frac{x}{2}}+ax\Biggr]_2^3=-2(e^{\frac32}-e^{-\frac32})+2\left(e-\frac1e\right)+a$이다. 따라서, $\displaystyle a=2\left(e+\frac1e\right)$이므로 $\displaystyle S$의 넓이는$\displaystyle \begin{aligned}&\int_0^2(e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}})dx+\int_2^3(-e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}+a)dx\\&=4\left(e-\frac1e\right)-2(e^{\frac32}-e^{-\frac32})+a=6e-\frac2e-2(e^{\frac32}-e^{-\frac32})\end{aligned}$이다.

(3) 그림에서와 같이 둘레의 길이 중 직선부분은$\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=-e^{\frac32}-e^{-\frac32}+a$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AO}}=2$, $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}}=3$으로 이루어져 있다.

둘레의 길이 중 곡선부분은 (a) $\displaystyle y=e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}$의 $\displaystyle x=0$에서 $\displaystyle x=2$까지의 길이와 $\displaystyle y=-e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}+a$의 $\displaystyle x=2$에서 $\displaystyle x=3$까지의 길이로 이루어져 있다.곡선부분 중 (a) 부분의 길이는$\displaystyle \int_0^2\sqrt{\left(\frac12e^{\frac{x}{2}}-\frac12e^{-\frac{x}{2}}\right)^2+1}dx=\int_0^2\sqrt{\left(\frac12e^{\frac{x}{2}}+\frac12e^{-\frac{x}{2}}\right)^2}dx=\int_0^2\left(\frac12e^{\frac{x}{2}}+\frac12e^{-\frac{x}{2}}\right)dx$,곡선부분 중 (b) 부분의 길이는$\displaystyle \int_2^3\sqrt{\left(\frac12e^{\frac{x}{2}}-\frac12e^{-\frac{x}{2}}\right)^2+1}dx=\int_2^3\left(\frac12e^{\frac{x}{2}}+\frac12e^{-\frac{x}{2}}\right)dx$이다. 직선부분과 곡선부분의 길이를 더하여 도형 $\displaystyle S$의 둘레의 길이를 구하면, $\displaystyle a=2\left(e+\frac1e\right)$이므로$\displaystyle \begin{aligned}&5-e^{\frac32}-e^{-\frac32}+a+\int_0^3\left(\frac12e^{\frac{x}{2}}+\frac12e^{-\frac{x}{2}}\right)dx\\&=5-e^{\frac32}-e^{-\frac32}+2\left(e+\frac1e\right)+\Biggl[e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}\Biggr]_0^3=5+2\left(e+\frac1e\right)-2e^{-\frac32}\end{aligned}$이다.