자연계열 4번

(1) $\displaystyle 0<x<\frac\pi2$일 때, 그림으로부터 삼각형 OAB의 넓이는 $\displaystyle \frac12\sin x$, 부채꼴 OAB의 넓이는 $\displaystyle \frac12x$, 삼각형 OAT의 넓이는 $\displaystyle \frac12\tan x$이므로 $\displaystyle \sin x<x<\tan x$가 성립하고, $\displaystyle \sin x>0$이므로, 이 부등식의 세 항을 $\displaystyle \sin x$로 나누면 $\displaystyle 1<\frac{x}{\sin x}<\frac1{\cos x}$가 된다.세 항의 역수를 취하면 $\displaystyle \cos x<\frac{\sin x}x<1$이고$\displaystyle \lim_{x\to0+}\cos x=1$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to0+}\frac{\sin x}x=1$이다. $\displaystyle -\frac\pi2<x<0$인 경우, $\displaystyle x=-t$라 두면 $\displaystyle \frac{\sin(-t)}{-t}=\frac{\sin t}t$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to0-}\frac{\sin x}x=\lim_{t\to0+}\frac{\sin t}t=1$이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{t\to0}\frac{\sin t}t=1$이다.

(2) 합동인 $\displaystyle n$개의 삼각형 $\displaystyle \triangle\mathrm{OP}_0\mathrm{P}_1$, $\displaystyle \triangle\mathrm{OP}_2\mathrm{P}_3$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle \triangle\mathrm{OP}_{2n-2}\mathrm{P}_{2n-1}$은 모두 꼭지각이 $\displaystyle \frac{2\pi}{3n}$이고 두 등변의 길이가 1인 이등변삼각형이므로 각각의 넓이는 $\displaystyle \frac12\sin\frac{2\pi}{3n}$이다. 합동인 $\displaystyle n$개의 삼각형 $\displaystyle \triangle\mathrm{OP}_1\mathrm{P}_2$, $\displaystyle \triangle\mathrm{OP}_3\mathrm{P}_4$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle \triangle\mathrm{OP}_{2n-3}\mathrm{P}_{2n-2}$, $\displaystyle \triangle\mathrm{OP}_{2n-1}\mathrm{P}_0$은 모두 꼭지각이 $\displaystyle \frac{4\pi}{3n}$이고 두 등변의 길이가 1인 이등변삼각형이므로 각각의 넓이는 $\displaystyle \frac12\sin\frac{4\pi}{3n}$이다. 따라서 $\displaystyle S(n)=\frac n2\sin\frac{2\pi}{3n}+\frac n2\sin\frac{4\pi}{3n}$이다.$\displaystyle s=\frac{2\pi}{3\times2026n}$라 하면 $\displaystyle n\to\infty$일 때 $\displaystyle s\to0$이므로, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2026n}2\sin\frac{2\pi}{3\times2026n}=\frac\pi3\lim_{s\to0}\frac{\sin s}s=\frac\pi3$이고,$\displaystyle t=\frac{4\pi}{3\times2026n}$라 하면 $\displaystyle n\to\infty$일 때 $\displaystyle t\to0$이므로,$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2026n}2\sin\frac{4\pi}{3\times2026n}=\frac{2\pi}3\lim_{t\to0}\frac{\sin t}t=\frac{2\pi}3$이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S(2026n)=\frac\pi3+\frac{2\pi}3=\pi$이다.

(3) 일반각 $\displaystyle \angle\mathrm{DOA}$를 $\displaystyle \alpha(t)$, 일반각 $\displaystyle \angle\mathrm{OBA}$를 $\displaystyle \beta(t)$라 하면 $\displaystyle \theta(t)=\alpha(t)-\beta(t)$이고,$\displaystyle \tan\alpha(t)=\frac{t}{\frac12}=2t$, $\displaystyle \tan\beta(t)=\frac{t}{1+\frac12}=\frac{2t}3$이므로 $\displaystyle \tan\theta(t)=\frac{\tan\alpha(t)-\tan\beta(t)}{1+\tan\alpha(t)\tan\beta(t)}=\frac{4t}{3+4t^2}$이다.$\displaystyle f(t)=\frac{4t}{3+4t^2}$라 하면 $\displaystyle f^{\prime}(t)=\frac{4(3-4t^2)}{(3+4t^2)^2}$이고 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}f(t)=0$, $\displaystyle \lim_{t\to-\infty}f(t)=0$이므로 $\displaystyle y=f(t)$의 그래프는 그림과 같고 함수 $\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle t=\frac{\sqrt3}2$에서 최댓값 $\displaystyle f\left(\frac{\sqrt3}2\right)=\frac{\sqrt3}3$, $\displaystyle t=-\frac{\sqrt3}2$에서 최솟값 $\displaystyle f\left(-\frac{\sqrt3}2\right)=-\frac{\sqrt3}3$을 갖는다. $\displaystyle -\frac\pi2<\theta(t)<\frac\pi2$에서 탄젠트함수는 증가하는 함수이므로 $\displaystyle \theta(t)$는 $\displaystyle t=\frac{\sqrt3}2$에서 최댓값 $\displaystyle \frac\pi6$, $\displaystyle t=-\frac{\sqrt3}2$에서 최솟값 $\displaystyle -\frac\pi6$을 갖는다.