자연계열 2번

(1) 도형 $\displaystyle x^2+(y-r)^2=r^2$ 위의 점 중 $\displaystyle y\le r$인 부분을 나타내는 함수를 $\displaystyle g(x)=r-\sqrt{r^2-x^2}$라 하자. 함수 $\displaystyle h(x)=f(x)-g(x)$에 대하여, 조건 (다)에 의해 $\displaystyle h(r)=f(r)-g(r)<r-r=0$을 만족한다. 만약 $\displaystyle 0<c<r$인 모든 실수 $\displaystyle c$에 대하여 $\displaystyle h(c)\le0$라면, $\displaystyle h(0)=f(0)-g(0)=0$이므로 $\displaystyle h^{\prime}(0)=\lim_{t\to0+}\frac{h(t)-h(0)}t=\lim_{t\to0+}\frac{h(t)}t\le0$이다. 그런데 $\displaystyle h^{\prime}(0)=f^{\prime}(0)-g^{\prime}(0)=1>0$이므로 모순이다. 따라서, $\displaystyle h(c)>0$인 실수 $\displaystyle c$가 열린구간 $\displaystyle (0,r)$에 적어도 하나 존재한다. 함수 $\displaystyle h(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [c,r]$에서 연속이므로, (사잇값의 정리에 의해) $\displaystyle h(x)=0$인 $\displaystyle x$가 열린구간 $\displaystyle (c,r)$에서 적어도 하나 존재한다. 따라서 방정식 $\displaystyle h(x)=0$은 열린구간 $\displaystyle (c,r)$에서 적어도 하나의 실근을 가지므로 원 $\displaystyle C$와 곡선 $\displaystyle y=f(x)$는 $\displaystyle 0<x<r$에서 적어도 하나의 교점을 가진다.

(2) 점 P의 좌표를 $\displaystyle (t,f(t))$라 하자. 점 P는 원 $\displaystyle C$ 위의 점이므로 $\displaystyle t^2+\{r(t)-f(t)\}^2=\{r(t)\}^2$을 만족한다. 따라서 $\displaystyle t^2-2r(t)f(t)+\{f(t)\}^2=0$이다. 이때, $\displaystyle t$가 0이 아니므로, $\displaystyle f(t)>0$이다. 따라서 $\displaystyle r(t)=\frac{t^2+\{f(t)\}^2}{2f(t)}$이다.

(3) 소문항 (2)에 의하여, $\displaystyle r(t)=\frac{t^2+\{f(t)\}^2}{2f(t)}$이다. 이 식을 정리하면 $\displaystyle r(t)=\frac t2\times\frac{1+\left\{\frac{f(t)}t\right\}^2}{\frac{f(t)}t}$가 된다.따라서 $\displaystyle \lim_{t\to0+}\frac{r(t)}t=\frac12\times\lim_{t\to0+}\frac{1+\left\{\frac{f(t)}t\right\}^2}{\frac{f(t)}t}$을 계산하면 된다. $\displaystyle \lim_{t\to0+}\frac{f(t)}t=f^{\prime}(0)$이므로$\displaystyle \lim_{t\to0+}\left[1+\left\{\frac{f(t)}t\right\}^2\right]=1+\{f^{\prime}(0)\}^2$이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{t\to0+}\frac{r(t)}t=\frac12\times\frac{\lim_{t\to0+}\left[1+\left\{\frac{f(t)}t\right\}^2\right]}{\lim_{t\to0+}\frac{f(t)}t}$가 되므로$\displaystyle \lim_{t\to0+}\frac{r(t)}t=\frac12\times\frac{1+\{f^{\prime}(0)\}^2}{f^{\prime}(0)}=1$이다.