자연계열 3번

(1) 다항함수 $\displaystyle g(x)$의 최고차항을 $\displaystyle ax^n$이라고 하면, 조건 (가)에 의해 다항함수 $\displaystyle \int_0^x f(t)g(t)dt$의 최고차항은 $\displaystyle \frac{a}{n+4}x^{n+4}$이고, 다항함수 $\displaystyle \{f(x)\}^2$의 최고차항은 $\displaystyle x^6$이다. (단, $\displaystyle a$는 0이 아닌 상수이고, $\displaystyle n$은 자연수이다.) 따라서, 조건 (나)에 의해 $\displaystyle n=2$, $\displaystyle a=2$이고 조건 (다)에 의해 $\displaystyle g(x)=2x^2+bx$라 둘 수 있다. (단, $\displaystyle b$는 상수이다.) 다항함수 $\displaystyle h(x)=-x^2-bx$의 이차항의 계수가 음수이므로 이차함수 $\displaystyle y=h(x)$의 축 $\displaystyle x=-\frac b2$가 2보다 작으면 $\displaystyle x=3$에서 최솟값을 갖고, 축 $\displaystyle x=-\frac b2$가 2 이상이면 $\displaystyle x=1$에서 최솟값을 갖는다. 즉, 최솟값은 $\displaystyle b>-4$일 때 $\displaystyle h(3)=-3b-9$이고, $\displaystyle b\le-4$일 때 $\displaystyle h(1)=-b-1$이다. 최솟값이 4이므로 $\displaystyle b>-4$일 때 $\displaystyle b=-\frac{13}3$이고, $\displaystyle b\le-4$일 때 $\displaystyle b=-5$이다. 이 중 조건을 만족하는 것은 $\displaystyle b=-5$이다. 따라서 $\displaystyle g(x)=2x^2-5x$이다.

(2) 닫힌구간 $\displaystyle [-1,0]$에서 유리함수 $\displaystyle \frac{g(x)+3}{f(x)+2}=\frac{2x^2-5x+3}{x^3-3x+2}$을 정리하면,$\displaystyle \frac{g(x)+3}{f(x)+2}=\frac{(x-1)(2x-3)}{(x-1)^2(x+2)}=(2x-3)\times\frac1{(x-1)(x+2)}$이고, 따라서$\displaystyle \frac{g(x)+3}{f(x)+2}=\frac{2x-3}3\left(\frac1{x-1}-\frac1{x+2}\right)$이다. 각각의 유리함수의 정적분의 값을 계산하면,$\displaystyle \int_{-1}^0\frac{2x-3}{3(x-1)}dx=\int_{-1}^0\left(\frac23-\frac1{3(x-1)}\right)dx=\Biggl[\frac23x-\frac13\ln|x-1|\Biggr]_{-1}^0=\frac23+\frac13\ln2$와$\displaystyle \int_{-1}^0\frac{2x-3}{3(x+2)}dx=\int_{-1}^0\left(\frac23-\frac7{3(x+2)}\right)dx=\Biggl[\frac23x-\frac73\ln|x+2|\Biggr]_{-1}^0=\frac23-\frac73\ln2$이다. 따라서,정적분의 값은 $\displaystyle \int_{-1}^0\frac{g(x)+3}{f(x)+2}dx=\left(\frac23+\frac13\ln2\right)-\left(\frac23-\frac73\ln2\right)=\frac83\ln2$이다.

(3) 소문항 (1)에 의해 $\displaystyle g(x)=2x^2-5x$이다. 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=g(x)+kx$가 한 점에서 접하고 또 다른 한 점에서 만나므로, 방정식 $\displaystyle f(x)-g(x)-kx=0$은 서로 다른 실근의 개수가 2이고 이 중 하나는 중근이다. $\displaystyle f(x)-g(x)-kx=x^3-2x^2+(2-k)x=x\{x^2-2x+(2-k)\}$이므로, $\displaystyle x=0$이 방정식 $\displaystyle f(x)-g(x)-kx=0$의 하나의 근이다. 따라서, 이차방정식 $\displaystyle x^2-2x+(2-k)=0$이 0이 아닌 중근을 갖거나 $\displaystyle x=0$을 근으로 가져야 하므로 $\displaystyle k=1$ 또는 $\displaystyle k=2$이다.$\displaystyle k=1$인 경우, $\displaystyle f(x)-g(x)-x=x(x-1)^2=x^3-2x^2+x$이므로, 넓이는$\displaystyle \int_0^1|x^3-2x^2+x|dx=\Biggl[\frac14x^4-\frac23x^3+\frac12x^2\Biggr]_0^1=\frac1{12}$이다.$\displaystyle k=2$인 경우, $\displaystyle f(x)-g(x)-2x=x^2(x-2)=x^3-2x^2$이므로, 넓이는$\displaystyle \int_0^2|x^3-2x^2|dx=\Biggl[-\frac14x^4+\frac23x^3\Biggr]_0^2=\frac43$이다.