자연계열 1번

(1) 이차방정식의 판별식을 이용하여 중근을 가질 조건을 나타내고 직선 $\displaystyle y=ax+b$의 기울기 $\displaystyle a$와 $\displaystyle y$절편 $\displaystyle b$의 값을 구한다.

방정식 $\displaystyle f(x)=ax+b$, 즉 $\displaystyle x^2+(4-a)x+8-b=0$은 중근을 가지므로, 판별식 $\displaystyle D_1=0$이어야 한다.$\displaystyle D_1=(4-a)^2-4(8-b)=0$, 즉 $\displaystyle a^2-8a+4b-16=0$이다.

방정식 $\displaystyle g(x)=ax+b$, 즉 $\displaystyle x^2-(4+a)x+16-b=0$도 중근을 가지므로, 판별식 $\displaystyle D_2=0$이어야 한다.$\displaystyle D_2=(4+a)^2-4(16-b)=0$, 즉 $\displaystyle a^2+8a+4b-48=0$이다.

두 식을 연립하면 $\displaystyle 16a-32=0$이므로 $\displaystyle a=2$이고, $\displaystyle 4b=-a^2+8a+16=28$이므로 $\displaystyle b=7$이다.

(2) 곡선 $\displaystyle y=f(x)$가 직선 $\displaystyle y=ax+b$와 점 $\displaystyle (c,f(c))$에서 접하므로 $\displaystyle x=c$는 방정식 $\displaystyle f(x)=ax+b$, 즉 $\displaystyle x^2+4x+8=2x+7$의 중근이다. 따라서 $\displaystyle x^2+2x+1=(x+1)^2=0$에서 $\displaystyle c=-1$이다.곡선 $\displaystyle y=g(x)$가 직선 $\displaystyle y=ax+b$와 점 $\displaystyle (d,g(d))$에서 접하므로 $\displaystyle x=d$는 방정식 $\displaystyle g(x)=ax+b$, 즉 $\displaystyle x^2-4x+16=2x+7$의 중근이다. 따라서 $\displaystyle x^2-6x+9=(x-3)^2=0$에서 $\displaystyle d=3$이다.

(3) 문제에서 구하고자 하는 부분의 넓이를 $\displaystyle A$라 하자.먼저 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=g(x)$의 교점의 $\displaystyle x$좌표를 구하면 $\displaystyle x^2+4x+8=x^2-4x+16$에서 $\displaystyle 8x=8$, 즉 $\displaystyle x=1$이다.또, 앞의 소문항 (2)에서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$가 직선 $\displaystyle y=ax+b$와 $\displaystyle x=-1$일 때 접하고, 곡선 $\displaystyle y=g(x)$가 직선 $\displaystyle y=ax+b$와 $\displaystyle x=3$일 때 접하는 것을 확인하였다.따라서 $\displaystyle x$축의 닫힌구간 $\displaystyle [-1,1]$에서 직선 $\displaystyle y=ax+b$와 곡선 $\displaystyle y=f(x)$로 둘러싸인 부분의 넓이와 $\displaystyle [1,3]$에서 직선 $\displaystyle y=ax+b$와 곡선 $\displaystyle y=g(x)$로 둘러싸인 부분의 넓이를 정적분을 활용하여 각각 계산한 후 두 값을 합하면 직선 $\displaystyle y=ax+b$와 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 및 곡선 $\displaystyle y=g(x)$로 둘러싸인 부분의 넓이 $\displaystyle A$를 구할 수 있게 된다.$\displaystyle A=\int_{-1}^1\{f(x)-(2x+7)\}dx+\int_1^3\{g(x)-(2x+7)\}dx$

여기에서$\displaystyle \int_{-1}^1\{f(x)-(2x+7)\}dx=\int_{-1}^1(x+1)^2dx=\Biggl[\frac{(x+1)^3}{3}\Biggr]_{-1}^1=\frac83$이고,$\displaystyle \int_1^3\{g(x)-(2x+7)\}dx=\int_1^3(x-3)^2dx=\Biggl[\frac{(x-3)^3}{3}\Biggr]_1^3=\frac83$이다.

따라서 $\displaystyle A=\frac83+\frac83=\frac{16}{3}$이다.